Демидович 1411а

[EUgeneUS]

Условие:
Считая $|x|$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:

а)

$$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}, (R>0)$$

Как решать совершенно понятно:
$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2} = \frac{1}{R^2} (1 - \frac{1}{(1+x/R)^2})$

Далее в ряд Тейлора до первого порядка по $x/R$ и получаем $\frac{2x}{R^3}$

UPD: поправил опечатку в ответе

Вопрос по условию.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной и раскладывать в ряд Тейлора по ней?

[drzewo]

Да, достаточно. $R>0$ -- константа, $x$ -- переменная. Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1655572 писал(а):

Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.

Спасибо за ответ. Ряд-то сойдется для любых $|x|<|R|$
Я переформулирую вопрос.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной, чтобы получившуюся простую приближенную формулу $\frac{2x}{R^3}$ считать приближенной формулой? Она же может дать расхождение в разы и на порядки (при этих условиях).

[drzewo]

Может дать расхождения в разы. Под приближенной формулой понимается

$$\ldots=\frac{2x}{R^3}+o(x),\quad x\to 0$$

как обычно

[EUgeneUS]

С указанием остатка (в любой форме) - это точная формула (лишь бы бы ряд сошелся).
А с откинутым остатком, как раз - приближенная. Нет?
(Демидович также считает: в ответах приводит простые приближенные формулы как первый ненулевой член ряда Тейлора, без остатка).

[drzewo]

я думаю, что приближенная формула это по определению точная в которой остаток не написали , а вместо равенства написали $\simeq$

[EUgeneUS]

По некоторому размышлению я разрешил этот когнитивный диссонанс другим способом.
Видимо, фразу "считая $|x|$ малой величиной" нужно понимать так, что $|x|$ мало по сравнению с константами задачи. Тогда $|x| \ll R$, и всё становится хорошо.

[EminentVictorians]

EUgeneUS, а где тут используется условие $R>0$? Вопрос наверное глупый, я матан не особо знаю, но не вижу как-то.

Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Ваша функция

$$y = \frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}$$

Ее производная:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(R + x)^3}$$

Нам нужны близкие к нулю иксы, поэтому найдем значение производной в нуле: $\frac{2}{R^3}$.

$y(0) = 0$, поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид:

$$z = \frac{2}{R^3} x$$

.

Это и есть искомое приближение.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):

поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид

Видите ли в чем дело. Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):

а где тут используется условие $R>0$?

Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$)

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):

Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.

Ну как сказать... Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же). Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой. Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением. И получится, что для просто малых $x$ (точнее говоря, для просто малых смещений аргумента, но т.к. у нас тут все в окрестности нуля происходит, то можно говорить о "просто малых $x$") значение приближенной формулы от этого $x$ мало отличается от точного значения первоначальной функции от этого $x$. Последнее "мало" - это мало по сравнению с приращением (т.е. в данном случае - мало по сравнению с $x$; в стандартном матнализе это обозначается как $o(x)$)

EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):

Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$)

Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно. Малый $x$ будет мал по сравнению с любым ненулевым конечным числом, а значит как по сравнению с $R$, так и по сравнению с $|R|$. И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же).

Не одно и то же. Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.

-- 23.09.2024, 00:11 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой.

Спросить можно. Но зачем? Ответ-то очевиден.

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

Чего? Пределы тут при чем?

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.

-- 23.09.2024, 00:20 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно.

У меня нет точного ответа на этот вопрос. С одной стороны, нужно как-то обозначить, что $R \ne 0$, с другой стороны, почему бы так сразу не написать?
Может там опечатка и должно быть $R > 1$, тогда всё на свои места становится.

-- 23.09.2024, 00:21 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.

Не следует.

[wrest]

В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение"

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):

Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Так это он и есть (два первых члена).

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):

$y(0) = 0$, поэтому

... поэтому имеем ряд Маклорена

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей.

А это так. Для безразмерных величин. Но у математиков нет размерности, поэтому у них всегда так.

-- 23.09.2024, 00:28 --

wrest в сообщении #1655638 писал(а):

В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение"

Дифференциалы тут только витают, к задаче отношения не имеют. Именно по этой причине:

EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):

Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.

-- 23.09.2024, 00:42 --

Задача-то "жизненная".
Это поле на оси диполя на расстоянии $R$ от первого заряда, диполь с расстоянием между зарядами $x$
Вот и возникает вопрос, на каких расстояниях "простая приближенная формула" даёт адекватное приближение, а на каких - погоду на Марсе.
Ответ, опять же очевидный: при $|x| \ll |R|$. Но как это условие следует из условий задачи?
Теперь склоняюсь, что в условии опечатка (см. выше).

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):

Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.

Я думаю, что в таких задачах под "малыми" понимают такие приращения аргумента, значения функции при которых можно считать неотличимыми от дифференциала. Далее возникает вопрос: что значит "можно считать неотличимыми"? Я вижу тут развилку: либо "можно считать неотличимыми для целей практики" (тогда "малый" $\ne$ "бесконечно малый"), либо математически идеализированно неотличимый от дифференциала, т.е. дифференциал и есть, т.е. бесконечно малое. Все отличие - в семантике. Ответ будет один и тот же.

EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):

В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.

Хм... Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655643 писал(а):

Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.

Видите ли в чем дело. Эта тема в ПРР(М), а я ТС. Это как бы означает, что я спрашиваю, а мне объясняют.
А с Вами тут наоборот.
Если у Вас какие-то вопросы или несогласия (по заданию), заведите свою тему, я Вам там объясню.