2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 16:13 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Условие:
Считая $|x|$ малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:

а) $$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}, (R>0)$$

Как решать совершенно понятно:
$\frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2} = \frac{1}{R^2} (1 - \frac{1}{(1+x/R)^2})$

Далее в ряд Тейлора до первого порядка по $x/R$ и получаем $\frac{2x}{R^3}$

UPD: поправил опечатку в ответе

Вопрос по условию.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной и раскладывать в ряд Тейлора по ней?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 16:17 


21/12/16
721
Да, достаточно. $R>0$ -- константа, $x$ -- переменная. Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:01 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
drzewo в сообщении #1655572 писал(а):
Вот мы и выбираем $|x|$ достаточно малым, что бы ряд сходился.


Спасибо за ответ. Ряд-то сойдется для любых $|x|<|R|$
Я переформулирую вопрос.
Разве условий а) $|x|$ и б) $R>0$ достаточно, чтобы считать $x/R$ также малой величиной, чтобы получившуюся простую приближенную формулу $\frac{2x}{R^3}$ считать приближенной формулой? Она же может дать расхождение в разы и на порядки (при этих условиях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:05 


21/12/16
721
Может дать расхождения в разы. Под приближенной формулой понимается
$$\ldots=\frac{2x}{R^3}+o(x),\quad x\to 0$$
как обычно

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:09 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
С указанием остатка (в любой форме) - это точная формула (лишь бы бы ряд сошелся).
А с откинутым остатком, как раз - приближенная. Нет?
(Демидович также считает: в ответах приводит простые приближенные формулы как первый ненулевой член ряда Тейлора, без остатка).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:16 


21/12/16
721
я думаю, что приближенная формула это по определению точная в которой остаток не написали , а вместо равенства написали $\simeq$

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 17:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
По некоторому размышлению я разрешил этот когнитивный диссонанс другим способом.
Видимо, фразу "считая $|x|$ малой величиной" нужно понимать так, что $|x|$ мало по сравнению с константами задачи. Тогда $|x| \ll R$, и всё становится хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 21:06 


22/10/20
1185
EUgeneUS, а где тут используется условие $R>0$? Вопрос наверное глупый, я матан не особо знаю, но не вижу как-то.

Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Ваша функция $$y = \frac{1}{R^2} - \frac{1}{(R+x)^2}$$

Ее производная: $$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(R + x)^3}$$

Нам нужны близкие к нулю иксы, поэтому найдем значение производной в нуле: $\frac{2}{R^3}$.

$y(0) = 0$, поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид: $$z = \frac{2}{R^3} x$$.

Это и есть искомое приближение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 22:28 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
поэтому для маленьких по модулю иксов первоначальная функция имеет вид


Видите ли в чем дело. Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.

EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
а где тут используется условие $R>0$?


Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$) :roll: :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение22.09.2024, 23:30 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):
Не бывает "малых иксов" самих по себе. Бывают только "малые иксы" по сравнению с чем-то.
Ну как сказать... Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же). Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой. Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением. И получится, что для просто малых $x$ (точнее говоря, для просто малых смещений аргумента, но т.к. у нас тут все в окрестности нуля происходит, то можно говорить о "просто малых $x$") значение приближенной формулы от этого $x$ мало отличается от точного значения первоначальной функции от этого $x$. Последнее "мало" - это мало по сравнению с приращением (т.е. в данном случае - мало по сравнению с $x$; в стандартном матнализе это обозначается как $o(x)$)

EUgeneUS в сообщении #1655626 писал(а):
Видимо, чтобы можно было считать $|x| \ll R$ и всё было хорошо (а не $|x| \ll |R|$)
Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно. Малый $x$ будет мал по сравнению с любым ненулевым конечным числом, а значит как по сравнению с $R$, так и по сравнению с $|R|$. И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:07 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей. Или малые по сравнению с любым ненулевым конечным числом. (эти 2 варианта по сути - одно и то же).


Не одно и то же. Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.

-- 23.09.2024, 00:11 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Тут, правда, можно спросить, будет ли малый $x$ мал по сравнению с самим собой.


Спросить можно. Но зачем? Ответ-то очевиден.

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Стандартный матанализ избежит этой проблемы введением пределов, а у меня пределов нету, но есть немного перегруженные операторы и не совсем стандартная семантика, поэтому для меня это тоже не проблема.

Чего? :shock: Пределы тут при чем?

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.

-- 23.09.2024, 00:20 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Я просто не очень понимаю, что даёт это условие и зачем оно вообще нужно.


У меня нет точного ответа на этот вопрос. С одной стороны, нужно как-то обозначить, что $R \ne 0$, с другой стороны, почему бы так сразу не написать?
Может там опечатка и должно быть $R > 1$, тогда всё на свои места становится.

-- 23.09.2024, 00:21 --

EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
И это следует из малости $x$, а значит писать это отдельным условием вроде как не обязательно.


Не следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:24 


05/09/16
12038
В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение" :mrgreen:
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
Я делал без Тэйлора, а просто производную нашел и все.

Так это он и есть (два первых члена).
EminentVictorians в сообщении #1655608 писал(а):
$y(0) = 0$, поэтому

... поэтому имеем ряд Маклорена :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 00:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
Можно считать, что просто малые - это малые по сравнению с единицей.


А это так. Для безразмерных величин. Но у математиков нет размерности, поэтому у них всегда так.

-- 23.09.2024, 00:28 --

wrest в сообщении #1655638 писал(а):
В воздухе завитала тема о "ну дифференциал - это же [бесконечно] малое приращение" :mrgreen:


Дифференциалы тут только витают, к задаче отношения не имеют. Именно по этой причине:
EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.


-- 23.09.2024, 00:42 --

Задача-то "жизненная".
Это поле на оси диполя на расстоянии $R$ от первого заряда, диполь с расстоянием между зарядами $x$
Вот и возникает вопрос, на каких расстояниях "простая приближенная формула" даёт адекватное приближение, а на каких - погоду на Марсе.
Ответ, опять же очевидный: при $|x| \ll |R|$. Но как это условие следует из условий задачи?
Теперь склоняюсь, что в условии опечатка (см. выше).

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 01:02 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
Мы же о малых говорим, а не о бесконечно малых.
Я думаю, что в таких задачах под "малыми" понимают такие приращения аргумента, значения функции при которых можно считать неотличимыми от дифференциала. Далее возникает вопрос: что значит "можно считать неотличимыми"? Я вижу тут развилку: либо "можно считать неотличимыми для целей практики" (тогда "малый" $\ne$ "бесконечно малый"), либо математически идеализированно неотличимый от дифференциала, т.е. дифференциал и есть, т.е. бесконечно малое. Все отличие - в семантике. Ответ будет один и тот же.

EUgeneUS в сообщении #1655637 писал(а):
EminentVictorians в сообщении #1655635 писал(а):
В любом случае, весь смысл задачи сводится к тому, чтобы заменить локально функцию её линейным приближением.

Нет. Вы неверно поняли задание.
Хм... Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демидович 1411а
Сообщение23.09.2024, 01:06 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655643 писал(а):
Вот здесь я с Вами совсем не могу согласиться.


Видите ли в чем дело. Эта тема в ПРР(М), а я ТС. Это как бы означает, что я спрашиваю, а мне объясняют.
А с Вами тут наоборот.
Если у Вас какие-то вопросы или несогласия (по заданию), заведите свою тему, я Вам там объясню.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group