2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:29 


15/08/24
6
С одной стороны, понятие объёма связано с понятием длины, которое не имеет смысла в аффинном пространстве. Но, например, в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" параграф "Измерение объемов" находится в главе "Аффинное пространство n измерений", до введения понятия скалярного произведения. Это ввело меня в некоторое замешательство, пожалуйста, разъясните мне этот момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:32 


21/12/16
721
Объем это мера. Это понятие никак не связано с метрикой. Вы можете ввести и метрику и меру, мера может быть порождена метрикой, а может и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
fizGSE в сообщении #1652320 писал(а):
в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ"
Малость устаревшая книженция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:48 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Пусть у вас аффинное пространство $A$ размерности $n$ и ассоциированное векторное пространство $V$. Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма, то есть базис в старшей внешней степени $\Lambda^n(V)$, которая одномерна. Заодно это вводит ориентацию на $V$ и $A$. Можно такой базис вводить непосредственно, можно через скалярное произведение и ориентацию, можно через невырожденную симплектическую форму. А неориентированный объём соответствует уже скалярному произведению на $\Lambda^n(V)$, то есть "базису с точностью до знака".

Кроме таких геометрических соображений, учтите, что группа ориентированных аффинных преобразований $\mathbb R^n$, сохраняющих объём, — это $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SL}(n, \mathbb R)$, она строго больше $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SO}(n)$ при $n \geq 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 22:20 


15/08/24
6
Утундрий в сообщении #1652322 писал(а):
Малость устаревшая книженция.

Быть может, неоднократно встречал в ней замысловатую для меня терминологию. (К примеру, Рашевский использует термин "аффинор", хотя, как мне показалось, под этим он имеет ввиду то, что мне привычнее называть "линейным оператором").

В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.

-- 29.08.2024, 22:59 --

dgwuqtj в сообщении #1652326 писал(а):
Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма[/math].

Спасибо! Примерно так я и пробовал себе это объяснить после некоторых размышлений. В самом деле, в аффинном пространстве ведь ничто не мешает выбрать вектора, построить на них параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 16:00 


21/12/16
721
fizGSE в сообщении #1652330 писал(а):
параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

количество это интересно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Квантум сатис потребуется параллелепипедов! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 20:47 


21/12/16
721
– Любопытно бы знать, – сказал философ, – если бы, примером, эту брику нагрузить каким-нибудь товаром – положим, солью или железными клинами: сколько потребовалось бы тогда коней? – Да, – сказал, помолчав, сидевший на облучке козак, – достаточное бы число потребовалось коней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:13 


09/06/16
7
Здравствуйте, друзья! Дабы не плодить лишних тем, нашёл здесь интересующий меня вопрос.

Цитата:
- "книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ""
- Малость устаревшая книженция.
- В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.


А что посоветуете для первичного ознакомления из более свежего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:14 


21/12/16
721
для первичного ознакомления с чем именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:20 


09/06/16
7
drzewo в сообщении #1655410 писал(а):
для первичного ознакомления с чем именно?


С Римановой геометрией и тензорным анализом :-) В связке. Или не следует так делать? Лучше разделить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:23 


21/12/16
721
Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:25 


09/06/16
7
drzewo в сообщении #1655412 писал(а):
Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

Спасибо!
upd Ещё спасибо! Тут и дифференциальные формы есть :-) Тоже планировал, но попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:26 


21/12/16
721
Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение22.09.2024, 15:46 
Заслуженный участник


11/03/08
531
Петропавловск, Казахстан
Есть еще книжка Розенфельд "Многомерные пространства". Там объем вводится как раз в аффинном пространстве с помощью формулы (определитель) и доказываются аксиомы измерения объемов

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group