Пусть у вас аффинное пространство
размерности
и ассоциированное векторное пространство
. Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма, то есть базис в старшей внешней степени
, которая одномерна. Заодно это вводит ориентацию на
и
. Можно такой базис вводить непосредственно, можно через скалярное произведение и ориентацию, можно через невырожденную симплектическую форму. А неориентированный объём соответствует уже скалярному произведению на
, то есть "базису с точностью до знака".
Кроме таких геометрических соображений, учтите, что группа ориентированных аффинных преобразований
, сохраняющих объём, — это
, она строго больше
при
.