2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:29 


15/08/24
6
С одной стороны, понятие объёма связано с понятием длины, которое не имеет смысла в аффинном пространстве. Но, например, в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" параграф "Измерение объемов" находится в главе "Аффинное пространство n измерений", до введения понятия скалярного произведения. Это ввело меня в некоторое замешательство, пожалуйста, разъясните мне этот момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:32 


21/12/16
721
Объем это мера. Это понятие никак не связано с метрикой. Вы можете ввести и метрику и меру, мера может быть порождена метрикой, а может и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
fizGSE в сообщении #1652320 писал(а):
в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ"
Малость устаревшая книженция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 21:48 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Пусть у вас аффинное пространство $A$ размерности $n$ и ассоциированное векторное пространство $V$. Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма, то есть базис в старшей внешней степени $\Lambda^n(V)$, которая одномерна. Заодно это вводит ориентацию на $V$ и $A$. Можно такой базис вводить непосредственно, можно через скалярное произведение и ориентацию, можно через невырожденную симплектическую форму. А неориентированный объём соответствует уже скалярному произведению на $\Lambda^n(V)$, то есть "базису с точностью до знака".

Кроме таких геометрических соображений, учтите, что группа ориентированных аффинных преобразований $\mathbb R^n$, сохраняющих объём, — это $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SL}(n, \mathbb R)$, она строго больше $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SO}(n)$ при $n \geq 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение29.08.2024, 22:20 


15/08/24
6
Утундрий в сообщении #1652322 писал(а):
Малость устаревшая книженция.

Быть может, неоднократно встречал в ней замысловатую для меня терминологию. (К примеру, Рашевский использует термин "аффинор", хотя, как мне показалось, под этим он имеет ввиду то, что мне привычнее называть "линейным оператором").

В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.

-- 29.08.2024, 22:59 --

dgwuqtj в сообщении #1652326 писал(а):
Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма[/math].

Спасибо! Примерно так я и пробовал себе это объяснить после некоторых размышлений. В самом деле, в аффинном пространстве ведь ничто не мешает выбрать вектора, построить на них параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 16:00 


21/12/16
721
fizGSE в сообщении #1652330 писал(а):
параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

количество это интересно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Квантум сатис потребуется параллелепипедов! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение30.08.2024, 20:47 


21/12/16
721
– Любопытно бы знать, – сказал философ, – если бы, примером, эту брику нагрузить каким-нибудь товаром – положим, солью или железными клинами: сколько потребовалось бы тогда коней? – Да, – сказал, помолчав, сидевший на облучке козак, – достаточное бы число потребовалось коней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:13 


09/06/16
7
Здравствуйте, друзья! Дабы не плодить лишних тем, нашёл здесь интересующий меня вопрос.

Цитата:
- "книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ""
- Малость устаревшая книженция.
- В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.


А что посоветуете для первичного ознакомления из более свежего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:14 


21/12/16
721
для первичного ознакомления с чем именно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:20 


09/06/16
7
drzewo в сообщении #1655410 писал(а):
для первичного ознакомления с чем именно?


С Римановой геометрией и тензорным анализом :-) В связке. Или не следует так делать? Лучше разделить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:23 


21/12/16
721
Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:25 


09/06/16
7
drzewo в сообщении #1655412 писал(а):
Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

Спасибо!
upd Ещё спасибо! Тут и дифференциальные формы есть :-) Тоже планировал, но попозже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение20.09.2024, 17:26 


21/12/16
721
Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

 Профиль  
                  
 
 Re: Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?
Сообщение22.09.2024, 15:46 
Заслуженный участник


11/03/08
531
Петропавловск, Казахстан
Есть еще книжка Розенфельд "Многомерные пространства". Там объем вводится как раз в аффинном пространстве с помощью формулы (определитель) и доказываются аксиомы измерения объемов

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group