Имеет ли смысл понятие объёма в аффинном пространстве?

[fizGSE]

С одной стороны, понятие объёма связано с понятием длины, которое не имеет смысла в аффинном пространстве. Но, например, в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ" параграф "Измерение объемов" находится в главе "Аффинное пространство n измерений", до введения понятия скалярного произведения. Это ввело меня в некоторое замешательство, пожалуйста, разъясните мне этот момент.

[drzewo]

Объем это мера. Это понятие никак не связано с метрикой. Вы можете ввести и метрику и меру, мера может быть порождена метрикой, а может и нет.

[Утундрий]

fizGSE в сообщении #1652320 писал(а):

в книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ"

Малость устаревшая книженция.

[dgwuqtj]

Пусть у вас аффинное пространство $A$ размерности $n$ и ассоциированное векторное пространство $V$. Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма, то есть базис в старшей внешней степени $\Lambda^n(V)$, которая одномерна. Заодно это вводит ориентацию на $V$ и $A$. Можно такой базис вводить непосредственно, можно через скалярное произведение и ориентацию, можно через невырожденную симплектическую форму. А неориентированный объём соответствует уже скалярному произведению на $\Lambda^n(V)$, то есть "базису с точностью до знака".

Кроме таких геометрических соображений, учтите, что группа ориентированных аффинных преобразований $\mathbb R^n$, сохраняющих объём, — это $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SL}(n, \mathbb R)$, она строго больше $\mathbb R^n \rtimes \mathrm{SO}(n)$ при $n \geq 2$.

[fizGSE]

Утундрий в сообщении #1652322 писал(а):

Малость устаревшая книженция.

Быть может, неоднократно встречал в ней замысловатую для меня терминологию. (К примеру, Рашевский использует термин "аффинор", хотя, как мне показалось, под этим он имеет ввиду то, что мне привычнее называть "линейным оператором").

В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.

-- 29.08.2024, 22:59 --

dgwuqtj в сообщении #1652326 писал(а):

Чтобы можно было говорить про ориентированный объём, достаточно зафиксировать единицу измерения этого самого объёма[/math].

Спасибо! Примерно так я и пробовал себе это объяснить после некоторых размышлений. В самом деле, в аффинном пространстве ведь ничто не мешает выбрать вектора, построить на них параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

[drzewo]

fizGSE в сообщении #1652330 писал(а):

параллелепипед и определять объем по тому, какое количество таких параллелепипедов требуется, чтобы замостить некоторую часть пространства.

количество это интересно...

[Утундрий]

Квантум сатис потребуется параллелепипедов!

[drzewo]

– Любопытно бы знать, – сказал философ, – если бы, примером, эту брику нагрузить каким-нибудь товаром – положим, солью или железными клинами: сколько потребовалось бы тогда коней? – Да, – сказал, помолчав, сидевший на облучке козак, – достаточное бы число потребовалось коней.

[Savin]

Здравствуйте, друзья! Дабы не плодить лишних тем, нашёл здесь интересующий меня вопрос.

Цитата:

- "книге Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ""
- Малость устаревшая книженция.
- В остальном эта книга читается для меня достаточно легко и интересно. Тем не менее, если она и впрямь существенно устарела, то, быть может, действительно поищу другую подобную книгу, но более новую.

А что посоветуете для первичного ознакомления из более свежего?

[drzewo]

для первичного ознакомления с чем именно?

[Savin]

drzewo в сообщении #1655410 писал(а):

для первичного ознакомления с чем именно?

С Римановой геометрией и тензорным анализом В связке. Или не следует так делать? Лучше разделить?

[drzewo]

Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

[Savin]

drzewo в сообщении #1655412 писал(а):

Новиков Тайманов Современные геометрические структуры и поля

Спасибо!
upd Ещё спасибо! Тут и дифференциальные формы есть Тоже планировал, но попозже.

[drzewo]

Дубровин Новиков Фоменко Современная геометрия

[BVR]

Есть еще книжка Розенфельд "Многомерные пространства". Там объем вводится как раз в аффинном пространстве с помощью формулы (определитель) и доказываются аксиомы измерения объемов