Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[Theoristos]

Пусть у нас есть одномерный потенциал $U$ равный
$ U(x) = \begin{cases}x^2/2 & |x|\le 2\\2 & |x|>2\end{cases}$
(cм. рис. 1)



Пусть есть материальная точка массой $m=1$, в момент времени $t=0$ имеющая координату $x=1$ и скорость $x'=0$.

Какая, согласно принципу действия, будет траектория $x(t)$,и какое значение действия $S$ достигается для этой траектории к моменту времени $t_{end}=4\pi$?

[drzewo]

-

[Theoristos]

Решением уравнения Лагранжа второго рода для внутренней области являются функции
$x(t)=A\sin (t+\phi)$,
для внешней -
$x(t)=B t+x_0,

Подставляя граничные условия получаем, что точка имеет траекторию
$x(t)=\sin (t+\pi/2)$,
что вроде бы входит в $H^1(t_1,t_2)$
Подставляя траекторию в интеграл действия получаем, что в этом случае $S=0$.

Можно заметить, что траектория $x(t)=1$ дает действие $S=-2\pi$, что меньше чем действие для указанной выше траектории. Такая траектория, очевидно, не является экстремальной по $S$ и её вариацией значение действия можно сделать ещё меньше.

Однако, можно заметить, что так как потенциальная энергия системы ограничена сверху значением $U=2$, то интеграл действие ограничен снизу значением $S\le -2\cdot 4\pi$.

Так какая непрерывная траектория в этом случае имеет минимальное действие, и чему оно равно?

[realeugene]

На все всех траекториях за изломами потенциала, согласно уравнению Лагранжа, сохраняется скорость частицы. Такая траектория, выйдя за излом потенциала, не может пройти обратно через заданную конечную точку. Следовательно, единственно возможная траектория - траектория гармонического осциллятора. Которая и не выходит за излом. Так что, задачу можно свести к гармоническом осциллятору.

Theoristos в сообщении #1653782 писал(а):

Такая траектория, очевидно, не является экстремальной по $S$ и её вариацией значение действия можно сделать ещё меньше.

А значит, она не является решением.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653783 писал(а):

А значит, она не является решением.

Да, очевидно не является. Но она ограничивает диапазон $S$ для минимальной траектории сверху.
И "решение для гармонического осциллятора" в этот диапазон не лезет.

[realeugene]

Может ли экстремальная траектория дойти до излома, повисеть на изломе, и потом вернуться обратно?

[drzewo]

Theoristos
я как-то сперва невнимательно отнесся к вашему вопросу, пришлось затереть свой пост. И тепрь у меня вопрос к вам:

Theoristos в сообщении #1653774 писал(а):

Какая, согласно принципу действия, будет траектория $x(t)$,

а что такое траектория в задаче с недифференцируемым достаточное количество раз лагранжианом?

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653788 писал(а):

И "решение для гармонического осциллятора" в этот диапазон не лезет.

Почему? Для гармонического осциллятора действие равно нулю, что больше минимума.

-- 08.09.2024, 18:09 --

Theoristos в сообщении #1653788 писал(а):

сверху

Снизу. На траекториях со сколь угодно большой скоростью можно получить сколь угодно большое действие.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653789 писал(а):

Может ли экстремальная траектория дойти до излома, повисеть на изломе, и потом вернуться обратно?

Да, это хорошая идея.
Если бесконечно острый излом сглаживается, так что вторая производная $U$ нигде не уходит в бесконечность,
то есть траектория, которые подходит к вершине , "зависают" там на почти плоском участке и возвращаются назад.

Но это для граничных условий с заданными $x(0)=1$ и $x(t_end)=1$, я немного схитрил переформулировав их.
В классе непрерывных на $[0,4\pi]$ функций с $x(0)=1$, $x'(0)=0$ минимальная функция существует.

... и ладно, а второй момент? Что для условий с $x(0)=1$ и $x(t_end)=1$ делать с "осцилляторным" решением? Получается, для заданных граничных у нас 2 экстремальных решения, мы что, должны вводить ещё одно условия для выбора между ними? Какое и почему? (легко придумать потенциал и условия при которых таких решений будет не два, а любое счетное число)

-- Вс сен 08, 2024 17:20:14 --

drzewo в сообщении #1653790 писал(а):

Theoristos
я как-то сперва невнимательно отнесся к вашему вопросу, пришлось затереть свой пост. И тепрь у меня вопрос к вам:
а что такое траектория в задаче с недифференцируемым достаточное количество раз лагранжианом?

Ага.
А сколько раз должен быть дифференцируем лагранжиан для таких задач? Обычно в учебниках по физике про это ограничение ничего не пишут.

И что делать в задачах, где он таки заведомо недифференцируем, как их сортировать на "вроде решабельные" (типа движения в бесконечно высокой прямоугольной потенциальной яме) и нерешабельные?

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653793 писал(а):

то есть траектория, которые подходит к вершине , "зависают" там на почти плоском участке и возвращаются назад.

Это невозможно. У экстремальной траектории каждый участок экстремален. Очевидно из физических соображений, что не существует экстремальной траектории, которая за какое угодно фиксированное время, начав с нулевой начальной скорости, дойдёт до излома, находящегося выше. А значит и траектория с зависанием не может быть экстремальной.

[Утундрий]

Theoristos в сообщении #1653774 писал(а):

в момент времени $t=0$ имеющая координату $x=1$ и скорость $x'=0$.

Раз так, то область $|x|>1$ недостижима.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653791 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653788 писал(а):

И "решение для гармонического осциллятора" в этот диапазон не лезет.

Почему? Для гармонического осциллятора действие равно нулю, что больше минимума.

Потому что оно уже больше значения для некоторой траектории, которая не минимальна. То есть его вроде бы можно ещё уменьшить, значение для минимальной траектории $S$ должно лежать в диапазоне $(-8\pi,-4\pi)$.

realeugene в сообщении #1653791 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653788 писал(а):

сверху

Снизу. На траекториях со сколь угодно большой скоростью можно получить сколь угодно большое действие.

Так нам не надо сколь угодно большое, нам надо минимальное.
И среди траекторий отвечающих граничным условиям уже найдена та, для которой действие меньше чем это "минимальное".

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653798 писал(а):

То есть его вроде бы можно ещё уменьшить

Действие на экстремальной траектории не обязано быть глобальным минимумом. Но необходимо, чтобы оно было локальным экстремумом. Именно эта локальная экстремальность эквивалентна в механике законам Ньютона.

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1653796 писал(а):

Раз так, то область $|x|>1$ недостижима.

Откуда это следует?

На поле время-координата мы вольны рисовать любые траектории, лишь бы они удовлетворяли граничным условиям и были достаточно гладки.
Вполне можно нарисовать некую траекторию, которая заходит в $|x|>1$. Вопрос - будет ли она минимальной.

Из формы потенциала видно, что действие ограничено снизу, так что вроде как такая траектория должна существовать.
Мы уже нашли одну такую неминимальную, так что минимальная должна иметь действие где-то в диапазоне от нижнего ограничения и до этой.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653800 писал(а):

Мы уже нашли одну такую неминимальную, так что минимальная должна иметь действие где-то в диапазоне от нижнего ограничения и до этой.

Совершенно не обязательно. Так как область открыта, минимума там может и не быть.