времевая координата кажется также должна совпадать с собственном времени частиц
Такую СО (вместе с условием

) в ЛЛ называют синхронной (параграф 97).
-- 04.09.2024, 10:48 --Тела (покоящихся в пространственных координат) отдельно, а координату времени не обязательно "осуществлять" этими же телами?
Я тоже думаю, что в СО используются некоторые "счетчики

", которые показывают значение

(произвольно идущие часы), что, конечно, отличается от показаний собственного времени часов в той же точке.
-- 04.09.2024, 10:56 --запихнуть вращающуюся систему отсчёта из ньютоновской механики в ОТО
Это естественное желание продемонстрировать самое простое стационарное гравитационное поле. Время не преобразуется потому, что это самое простое, что можно сделать.
-- 04.09.2024, 11:00 --"сопутствующую систему" вроде надо понимать просто как "выберем координат в которых частицы вещества покоятся"
Это да. Просто можно подумать, что никакой другой СО, кроме сопутствующей, выбрать в общем нельзя. На самом же деле можно внести в систему сколько угодно пробных частиц, движущихся каким-то другим способом, и связать СО с ними, а не с веществом системы.