Допустимая система координат в ОТО

[sergey zhukov]

В "Теории поля" ЛЛ в параграфе 84 сказано так:

Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия (84.3) ($g_{00}>0$) и смыслом условия об определенной сигнатуре (знаках главных значений) тензора $g_{ik}$ (§82). Тензор $g_{ik}$, не удовлетво­ряющий второму из этих условий, вообще не может соответство­вать какому бы то ни было реальному гравитационному полю, т. е. метрике реального пространства-времени. Невыполнение же условия (84.3) означало бы лишь, что соответствующая систе­ма отсчета не может быть осуществлена реальными телами; если условие о главных значениях при этом выполняется, то надлежащим преобразованием координат можно добиться то­го, что $g_{00}$ станет положительным (пример подобной системы представляет собой вращающаяся система координат — см. §89).

Правильно ли я это понимаю так.

Сигнатура $g_{ik}$ - это его инвариантное свойство, никакой заменой СК это не изменить. Если $g>0$, то такой $g_{ik}$ просто не может быть решением уравнений Эйнштейна.

Если же просто компонента $g_{00}<0$, то это может значить лишь, что СК выбрана так, что координатное время маркирует точки событий в пространстве-времени не от причины к следствию, а наоборот. Выбором другой СК это можно изменить.

Фраза о том, что "соответствующая система отсчета не может быть реализована реальными телами" означает, что ее линии времени не обязательно должны быть всюду времениподобны, а ее гиперповерхности $t=\operatorname{const}$ - всюду пространственноподобны? Допустимы любые СК, которые маркируют события однозначным способом? Т.е. на них есть, конечно, другие ограничения, но "реализация реальными телами" - это совсем не обязательно? Скажем, допустимо, чтобы координатное время причинно-связанных событий не увеличивалось от причины к следствию, а уменьшалось (или даже вообще оставалось постоянным).

[warlock66613]

Допустимы совершенно любые системы координат, а попытки (не)обязательной реализации координат "в железе" в книге ЛЛ не имеют глубокого смысла и не влияют на дальнейшее изложение. Значения координат в ОТО, в том числе значения координатного времени, не являются чем-то измеряемым, чем-то имеющим прямой операционный смысл.

[sergey zhukov]

warlock66613
Спасибо. Я вообще разбирался с тем, в чем разница между синхронной и сопутствующей СК и как они строятся.

Сказано, что синхронная СК строится так, чтобы поверхности $t=\operatorname{const}$ были везде пространственноподобными, а временные линии были им перпендикулярны (т.е. всюду времениподобны). Я как-то раньше считал, что любая СК должна строится именно так: она должна иметь пространственноподобные поверхности $t=\operatorname{const}$ и времениподобные линии времени. Но, как я вижу теперь, это вовсе не обязательно.

Правильно ли я, кстати, понял, что:

Синхронная СК - это (среди прочего) когда в качестве линий времени СК выбираются геодезические, перпендикулярные исходной произвольной пространственноподобной гиперповерхности. При этом все равно, совпадают ли мировые линии частиц с этими линиями времени СК.

Сопутствующая СК - это (среди прочего) когда в качестве линий времени СК выбираются мировые линии частиц. При этом все равно, являются ли они геодезическими.

Эти две СК могут совпадать только в некоторых частных случаях, когда перпендикулярные геодезические одновременно являются мировыми линиями частиц. Скажем, космологические модели Фридмана для пыли.

[piksel]

warlock66613 в сообщении #1566186 писал(а):

Значения координат в ОТО, в том числе значения координатного времени, не являются чем-то измеряемым, чем-то имеющим прямой операционный смысл.

Можно уточнить, что координатное время это время на часах наблюдателя, с которым связывается система отсчета. Если, например, тело вошло в поле локальной гравитационной системы, а потом вылетело из него, то изменение показаний его часов по сравнению с часами удаленной координатной системы отсчета будет характеризовать замедление времени в гравитационном поле.

[sergey zhukov]

piksel
"Удаленная координатная система отсчета" - звучит как-то невнятно

По моему, есть определенная путаница (у меня по крайней мере) в понятиях "система отсчета" (СО) и "система координат" (СК).

СО всегда чья-то. СО какого-то тела, с его часами и линейками. СО адресует все точки пространства-времени (т.е. задает СК) неким частным, специальным способом. Скажем, мировая линия тела выбирается в качестве линии времени этой СК, а события на этой мировой линии маркируются собственным временем часов этого тела. Все это задает некоторые ограничения на вид СК.

СК же сама по себе ничья. Ни к каким телам она не привязана. Это вообще любой способ адресовать все точки пространства-времени. Например, не нужно заботиться о том, чтобы координатное время было временем каких-то часов. Не нужно, чтобы линии времени СК были времениподобными. Нужно только, чтобы временная координата плавно зависела от интервала, причем все равно, времениподобный это интервал, или пространственноподобный. Иначе говоря, СК никак не связана с причинно-следственной структурой пространства-времени (хотя, если такого соответствия нет, СК, вероятно, будет приводить к бесконечностям типа тех, что получаются на сфере Шварцшильда, т.е. такая СК не будет всюду "хорошей").

Т.е. СО - это один из способов задать СК, но вообще множество всех допустимых СК шире. В общем случае координатное время не совпадает ни с какими часами и даже в принципе не может совпадать. Так я это понимаю.

[chislo_avogadro]

sergey zhukov в сообщении #1566169 писал(а):

добиться то­го, что $g_{00}$ станет положительным (пример подобной системы представляет собой вращающаяся система координат — см. §89).

sergey zhukov в сообщении #1566169 писал(а):

Сигнатура $g_{ik}$ - это его инвариантное свойство, никакой заменой СК это не изменить.

Если посмотреть упомянутый §89 (Вращение), то утверждение об инвариантности сигнатуры можно проверить на конкретном примере. Там видно, что на достаточно больших радиусах $g_{00}$ становится отрицательным, при этом и сигнатура $g_{ik}$ в этих точках меняет знак. То же происходит при простом переходе в неподвижную полярную систему координат - в тех же самых точках, где во вращающейся системе координат было $g_{00} < 0$ и сигнатура $g_{ik}$ была положительной, и то и другое меняет знак.

Можно привести обратный пример - в метрике Шварцшильда $g_{00}$ при переходе $r$ через $r_g$ меняет знак, а знак $g$ не меняется.

-- 08.10.2022, 14:55 --

sergey zhukov в сообщении #1566250 писал(а):

По моему, есть определенная путаница (у меня по крайней мере) в понятиях "система отсчета" (СО) и "система координат" (СК).

Для локально-инерциальных систем я лично как-то и разницы не вижу. Википедия систему отсчёта связывает с наличием тел -

Цитата:

Система отсчёта — это совокупность неподвижных относительно друг друга тел (тело отсчёта), по отношению к которым рассматривается движение (в связанной с ними системе координат), и отсчитывающих время часов (системы отсчёта времени), по отношению к которым рассматривается движение каких-либо тел[2][3][4].

Т.е., ИМХО, в каждой системе отсчёта можно ввести ту или иную систему координат.
Различать имеет смысл глобальную сетку координат и локальные координаты.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1566250 писал(а):

СО адресует все точки пространства-времени

нет

-- 08.10.2022, 16:54 --

sergey zhukov в сообщении #1566250 писал(а):

Нужно только, чтобы временная координата

Такой может не быть вообще.

-- 08.10.2022, 17:07 --

chislo_avogadro в сообщении #1566254 писал(а):

Можно привести обратный пример

Не надо приводить такие "примеры". Надо просто посмотреть определение диф.многообразия и теоремы о сигнатуре.

[sergey zhukov]

chislo_avogadro в сообщении #1566254 писал(а):

Там видно, что на достаточно больших радиусах $g_{00}$ становится отрицательным, при этом и сигнатура $g_{ik}$ в этих точках меняет знак

Там в метрике перекрестный член есть $d\varphi dt$, так что знак определителя так сразу не очевиден. Скорее всего, там происходит то же, что и на сфере Шварцшильда. Определитель метрического тензора - это один из его инвариантов, он не может изменить знак при смене СК. В конце концов известно же, что эта метрика описывает плоское пространство-время.

СО - это СК, которая определенным образом согласована с мировыми линиями вещества. Скажем, как если бы параллели и меридианы наносили на глобус только вдоль автомобильных дорог, т.к. только вдоль дорог могут ездить машины. Произвольная же СК этим не ограничена, и мы можем наносить на глобус любую сетку, не заботясь о том, могут ли ездить машины вдоль таких линий или нет. Что-то вроде этого.

Geen
Что значит "временной координаты может не быть"? Любое событие имеет метку координатного времени. Разве нет?

[warlock66613]

Вообще обычно под системой отсчёта в ОТО подразумевается локальная система отсчёта: тетрада или нечто аналогичное. Но в ЛЛ соответствующий матаппарат отсутствует как класс.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1566280 писал(а):

Geen
Что значит "временной координаты может не быть"? Любое событие имеет метку координатного времени. Разве нет?

Думаю имелось ввиду, что существование времениподобной координаты необязательно.
Например, если в плоском пространстве-времени исходить из "обычных" координат ИСО (x,t таких, что интервал имеет вид $ds^2=dt^2 - dx^2$), и перейти к новых "афинных неортогональных" координат $p,q$ преобразованием:
$p=x-10t$
$q=t$
то нетрудно убедится, что обе координаты $p,q$ пространственноподобны (везде подразумевается $c=1$).
Преобразование взаимнооднозначно, гладко и непрерывно (это очевидно потому что линейно) - нумерует взаимнооднозначно все те же события, не хуже чем оригинальных минковских координат - т.е. это вполне "хорошие" новые координаты над тем же многообразием.
Или другой пример - изотропные координаты: $x^{+}=t-x$, $x^{-}=t+x$ ($x^{+}, x^{-}$ это линии светового конуса; на этих координатных линий интервал равен нулю т.е. координаты не являются ни времениподобными ни пространственноподобными).
Для таких координат, если событие имеет координаты например $p=8, q=13$, вроде не принято называть ни $p=8$, ни $q=13$ его "меткой координатного времени" (по меньшей мере, в общепринятом смысле). То же самое для изотропных координат $x^{+}, x^{-}$.

Более того, "одна и та же координатная линия" (все остальные координаты зафиксированы, кроме этой которая пробегает свои значения) где-то на многообразии может быть времениподобной, а "в других мест" - нет и т.д.

[sergey zhukov]

manul91
Кажется, понятно. СК просто помечает все события четырьмя упорядоченными числами $x^0, x^1, x^2, x^3$, причем сами по себе эти числа не являются ни пространственными, ни временными метками событий, т.е. в самой СК это не содержится. Просто первая, вторая, третья и четвертая координаты.

Имея заданную пространственно-временную структуру, можно выбрать СК так, чтобы одна из координат стала времениподобной, а все остальные - пространственноподобными. Только в этом случае о такой координате и можно говорить, что она является координатным временем, т.к. собственное время неподвижных в этих координатах часов будет связано только с этой координатой (через $g_{00}$).

В общем же случае СК можно выбрать так, чтобы все координаты были времениподобными, или все - пространственноподобными, или можно получить любое другое их сочетание. Можно даже выбрать СК так, чтобы местами было одно, местами - другое. Скажем, такой переход происходит на поверхности сферы Шварцшильда, когда вне сферы координатное время соответствует одной координате, а внутри сферы - другой. Такие "пятнистые" координаты считаются не самыми удачными.

Например, если, как в вашем примере, в пространстве Минковского ($c=1$) перейти от прямоугольных к косоугольным координатам, например, так:

$$p=x-kt$$

$$q=x+kt$$

То метрика получается такой:

$$s^2=\frac{1}{4}(dp^2+dq^2)(\frac{1}{k^2}-1)-\frac{1}{2}dpdq(\frac{1}{k^2}+1)$$

Причем ясно, что при $k>1$ или $k<-1$ обе координаты $p и q$ пространственноподобны, а при $-1<k<1$ - обе времениподобны. При этом они совершенно симметричны, и если мы хотим назвать одну из них координатным временем, то с тем же успехом так можно назвать и другую.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1566313 писал(а):

Можно даже выбрать СК так, чтобы местами было одно, местами - другое. Скажем, такой переход происходит на поверхности сферы Шварцшильда

Не происходит там перехода. Шварцшильдовские координаты определены либо только снаружи, либо только внутри. Ни на сфере, ни по обе стороны одновременно - не бывает.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1566313 писал(а):

Имея заданную пространственно-временную структуру, можно выбрать СК так, чтобы одна из координат стала времениподобной, а все остальные - пространственноподобными. Только в этом случае о такой координате и можно говорить, что она является координатным временем, т.к. собственное время неподвижных в этих координатах часов будет связано только с этой координатой (через $g_{00}$).

Ну это уже зависит от того как определить $g_{00}$ (по традиции да, его связывают с времениподобной координатой когда все остальные пространственноподобны). Собственное время всегда будет связано с какими-то координатами (может быть связано и с этой). Чтобы определить является ли координата времениподобной, точнее нужно делать так: фиксируем все остальные координаты (кроме исследуемой); все члены с их дифференциалами в метрике выпадают, и смотрим на знак $ds^2$ - если положителен то координату можно обозвать "координатным временем" если не положителен - нельзя.
Например, для координату $t$ во вращающейся системе координат (на плоском пространстве-времени) тем способом получим:
$ds^2 = g_{00} = (1-w^2r^2)dt^2$
откуда видно, что если $r$ достаточно мало (чтобы было $1-w^2r^2 >0$) то в этой области координата $t$ времениподобна, то для области где $r\ge\frac{1}{w}$ квадрат интервала отрицателен, и там называть ее "координатным временем" точно неуместно.
Но да, я согласен - вобщем называть какую-то координату "координатным временем" в какой-то области уместно, если: в данной области только эта координата времениподобна, а все остальные пространственноподобны.
Во всех остальных случаев (например как у вас с двумя времениподобными координатами) лучше просто называть их номерами и не говорить про "координатным временем".

sergey zhukov в сообщении #1566313 писал(а):

Можно даже выбрать СК так, чтобы местами было одно, местами - другое. Скажем, такой переход происходит на поверхности сферы Шварцшильда, когда вне сферы координатное время соответствует одной координате, а внутри сферы - другой. Такие "пятнистые" координаты считаются не самыми удачными.

Geen прав про Шварцшильдовких координат (если бы они были хорошими "на сфере", то фиксируя $r=r_g$ мы должны были бы получить хорошую трехмерную метрику через $t,\theta,\varphi$ на сфере, но этого не происходит - они там негодны).
Но как популярный пример "пятнистой координатой" в данном смысле, можно брать $t$ из вращающихся выше (на $r=\frac{1}{w}$ они вполне нормальны), или придумать что-то свое.

[sergey zhukov]

manul91
Кажется, понятно.

Возьмем плоское пространство-время и зададим на нем две разных сетки координат:

Первая сетка координат плохая: есть точки, в которых СК "схлопывается", т.е. орты локальной СК в этих точках перестают быть линейно независимыми, чего у хорошей СК ни в одной точке быть не должно. Скажем, в двумерном случае это значит, что орты локальной СК совпали по направлению, в трехмерном - что орты локальной СК легли в одну плоскость и т.д (включая, как частный случай, просто обнуление одного из ортов). Признаком такого "схлопывания" СК являются бесконечные коэффициенты метрики в этих точках (если мы знаем, что само пространство-время, как в нашем случае, нигде не сингулярно). Это происходит с координатами Шварцшильда при $r=r_g$. При этом в данном примере в точках координатной сингулярности никакой смены характера координат (смены пространственноподобной на времениподобную или наоборот) не происходит. В окрестности сингулярных точек обе координаты всюду времениподобны, включая и точки координатной сингулярности.

Вторая сетка координат вполне хорошая, никакого "схлопывания" у нее нет, во всех точках орты СК линейно независимы. Просто есть точки, в которых времениподобная координата переходит в пространственноподобную. Признаком этого является переход коэффициентов метрики через ноль в этих точках.

[manul91]

sergey zhukov
Да, все так. В общем, с координатами все просто.
Настоящий "разброд и шатание" появляется когда определяют понятие не "систем координат", а "систем отсчета".
Тут вроде однозначности нет, у разных источниках разные определения и требования к "систем отсчета".