Допустимая система координат в ОТО

[sergey zhukov]

manul91
А правильно я понимаю, что "Система отсчета, осуществленная с помощью реальных тел" - это значит, что, в частности, каждое тело (при помощи которых может быть осуществлена эта система отсчета) имеет фиксированные пространственые координаты? Т.е. тела (даже просто воображаемые), осуществляющие систему отсчета, должны быть неподвижны в этой системе отсчета?

[Утундрий]

Конечно. Иначе как можно считать, что эти тела что-то там осуществляют?

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1652924 писал(а):

имеет фиксированные пространственые координаты?

пространственных координат тоже может не быть

Утундрий в сообщении #1652936 писал(а):

Конечно. Иначе как можно считать, что эти тела что-то там осуществляют?

Гм. Возьмём систему "леметровских" наблюдателей - они сближаются друг с другом "поперёк радиуса" и удаляются "вдоль"...

[sergey zhukov]

Geen в сообщении #1652943 писал(а):

они сближаются друг с другом "поперёк радиуса" и удаляются "вдоль"...

Пространственные координаты этих наблюдателей все равно постоянны.

Если нет пространственных координат, то речь, значит, не о системе отсчета, осуществляемой реальными (или воображаемыми) телами.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1652946 писал(а):

Если нет пространственных координат, то речь, значит, не о системе отсчета

Видимо я потерял тот момент, когда Вы связали СО и СК - Вы не могли бы повторить?

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1652924 писал(а):

manul91
А правильно я понимаю, что "Система отсчета, осуществленная с помощью реальных тел" - это значит, что, в частности, каждое тело (при помощи которых может быть осуществлена эта система отсчета) имеет фиксированные пространственые координаты? Т.е. тела (даже просто воображаемые), осуществляющие систему отсчета, должны быть неподвижны в этой системе отсчета?

Думаю да, по меньшей мере я это всегда именно так понимал.
При этом, интервал на соответной гипотетической траектории тела (при обнулении дифференциалов всех "пространственных координат", т.е. когда мы их фиксируем) должен оказаться времениподобным.

В итоге, такой "рецепт": берем метрику каких-то координат (с "неизвестным смыслом координат"). Если удастся выбрать из них трех координат $p, q, u$ для которых, в какой-то области:
- при обнулении $dp, dq, du$ в метрике, интервал $ds^2$ положителен (траектория "тела неподвижного в этих координат" времениподобна, т.е. оставшаяся четвертая координата $t$ времениподобна)
- при обнулении всех остальных дифференциалов кроме $dp$, интервал $ds^2$ отрицателен (координата $p$ пространственноподобна). И то же самое для остальных двух $q, u$
- Координата $t$ "осуществляется" ("отсчитывается") реальными неподвижными в координат $p, q, u$ телами в следующем смысле - если это "часы" то это не стандартные часы, а то что ЛЛ называют "произвольно идущими часами".

Тогда для данной системой координат, в данной области, можно сказать что она "может быть осуществленной с помощью реальных тел" - и уже говорить про нее как "систему отсчета связанной с этих координат".
Короче, если в данной области три из координат оказываются пространственноподобными, а четвертая времениподобной.

За точности/прецизности своего понимания данной фразы - не ручаюсь (тем более что насчет "систем отсчета" кажется существуют "разные школы", каждая подразумевает слегка разные вещи под "систему отсчета"). Но нигде не встречал чего-то, что противоречало бы очевидным образом моему пониманию выше.
Сами ЛЛ, похоже, никакой разницы между понятий "система отсчета" и "система координат" не делают (используя их просто как синонимами). Я бы сказал "систему координат можно назвать системой отсчета - если эта система координат в данной области может быть осуществленной реальными телами" (в указанном выше смысле). Но опять, это похоже сугубо персональное предпочитание... Важно, чтобы из тексте было недвусмысленно понятно о чем на самом деле речь по смыслу (терминология при этом может слегка отличаться).

[sergey zhukov]

manul91
По крайней мере у ЛЛ во втором томе в параграфе 84, стр.317, 318 сноска 2 четко сформулированы обязательные требования к СК (точнее, к компонентам $g_{ik}$ в этой СК), которая может быть системой отсчета и может быть осуществленна реальными телами.

Немного сбивет с толку еще вот что. Иногда говорят "Выберем сопутствующую систему отсчета, в которой вещество покоится". Если следовать тому определению, что в системе отсчета тела отсчета и должны покоится, создается впечатление, что выбора тут нет и любая система отсчета должна быть сопутствующей. Но тут, как я понимаю, речь о том, что мы могли бы мысленно ввести в систему некоторые другие тела отсчета (воображаемые) и связать систему отсчета с ними. Тогда она (система отсчета) уже не была бы сопутствующей веществу задачи (она стала бы сопутствующей воображаемому веществу СО, которое могло бы теоретически тут быть и находится в движении относительно вещества задачи).

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1652987 писал(а):

которая может быть системой отсчета

ЛЛ не используют термин "система отсчёта" как отдельный термин.

[Утундрий]

Ну а моё личное понимание вопроса изложено во всем вам известной теме. Не буду здесь повторяться.

[realeugene]

Зачем может потребоваться в ОТО такая дополнительная сущность, как "система отсчёта", если есть метрика, которая сама промеряет всё пространство-время? Ну разве что в виде тетрад ещё можно.

manul91 в сообщении #1652978 писал(а):

Тогда для данной системой координат, в данной области, можно сказать что она "может быть осуществленной с помощью реальных тел" - и уже говорить про нее как "систему отсчета связанной с этих координат".

Вы забыли про ортогональность временной и пространственных координат.

[manul91]

realeugene в сообщении #1653024 писал(а):

Вы забыли про ортогональность временной и пространственных координат.

А разве это нужно?
Возьмем обычную систему ИСО с метрикой $ds^2 = dt^2 - dx^2$.
Стандартные часы (тела) считаем расставленными неподвижно на фиксированных координат $x$ (их координата $x$ не меняется), они идут синхронно показывая собственного времени которое совпадает с координатным $t$, синхронизированы по Эйнштейну как обычно и так далее.

Теперь, перейдем к новую времевую координату $t'$ следующим образом - каждые из часов одноразово подкрутим вперед в зависимость от их места - настолько, сколько величина их собственной координатой х (с неким коеффициентом чтобы сохранить времениподобность, например $\frac{1}{2}$), т.е. новая времевая координата связана с прежних $t,x$ как $t' = t + \frac{x}{2}$.

Теперь $t = t' - \frac{x}{2}$, значит $dt = dt' - \frac{dx}{2}$
Подставляя $t$, получаем выражение для метрики в новых координат:
$ds^2 = dt^2 - dx^2 = (dt' - \frac{dx}{2})^2 - dx^2 = dt'^2 - dt'dx + \frac{dx^2}{4} - dx^2$
итого метрика в новых координат $t', x$, над том же плоском пространстве-времени:
$ds^2 = dt'^2 - dt'dx - \frac{3}{4}dx^2$
И мы вполне успешно "осуществили ее реальными телами" (в указанном в прежнем сообщении смысле).

Новые координаты $t', x$ не ортогональны (из-за смешанного члена).

По-моему, это отвечает понятию "система координат осуществлена реальными телами", "с произвольно идущими часами", "наподобие некоторой среды".
(в данном случае мы сбили только синхронизацию, часы по-прежнему отсчитывают собственное время - но вообще-то и это не обязательно; разумеется такие "часы" которые не показывают собственное время нельзя уже обзывать "стандартными")

Другой пример - вращающаяся система отсчета, в смысле ЛЛ 89.2.
Ее можно осуществить реальными телами (вращающимеся соответным образом) до радиуса $r<\frac{c}{w}$. Только нужно обеспечить чтобы их "часы" показывали не собственное время, а время "внешней" инерциальной системе отсчета (для этого нужно их запрограммировать идти с разным темпом, в зависимости от их радиуса вращения и значения $w$).

[Утундрий]

Собственное время — инвариант. Поэтому то, что его не показывает, вообще не следует называть часами.

И да, ортогональность тут ни к селу, ни к городу.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1653067 писал(а):

Собственное время — инвариант. Поэтому то, что его не показывает, вообще не следует называть часами.

Да такая терминология нестандартна и ей лучше не пользоваться, но в таком смысле я и понимаю "произвольно идущие часы" упомянутые у ЛЛ (тем же способом можно говорить про "произвольно размеченными линейками", хотя их собственная длина тоже инвариант).

[Утундрий]

manul91
Под "произвольно идущими" там, скорее всего, подразумевается никак друг с другом не синхронизированные.

[manul91]

sergey zhukov в сообщении #1652987 писал(а):

Немного сбивет с толку еще вот что. Иногда говорят "Выберем сопутствующую систему отсчета, в которой вещество покоится". Если следовать тому определению, что в системе отсчета тела отсчета и должны покоится, создается впечатление, что выбора тут нет и любая система отсчета должна быть сопутствующей. Но тут, как я понимаю, речь о том, что мы могли бы мысленно ввести в систему некоторые другие тела отсчета (воображаемые) и связать систему отсчета с ними. Тогда она (система отсчета) уже не была бы сопутствующей веществу задачи (она стала бы сопутствующей воображаемому веществу СО, которое могло бы теоретически тут быть и находится в движении относительно вещества задачи).

По моему тут перемудрили, "сопутствующую систему" вроде надо понимать просто как "выберем координат в которых частицы вещества покоятся" (времевая координата кажется также должна совпадать с собственном времени частиц а синхронизация уточняется по контексту; если так то она в каких-то случаев и однозначным образом невозможна - например если вещество это вращающийся диск)

-- 04.09.2024, 03:34 --

Утундрий в сообщении #1653070 писал(а):

manul91
Под "произвольно идущими" там, скорее всего, подразумевается никак друг с другом не синхронизированные.

Не думаю.
Прямо под метрикe 89.2 вращающейся системе отсчета (называют ее "вращающейся системе отсчета", а не "вращающейся системе координат"), они пишут буквально:

Цитата:

Необходимо отметить, что вращающейся системой отсчета можно пользоваться только до расстояний, равных с/w. Действительно, из (89.2) видно, что при r > c/W величина $g_{00}$ становится отрицательной, что недопустимо.
Неприменимость вращающейся системы отсчета на больших расстояниях связана с тем, что скорость вращения сделалась бы на них большей скорости света, и такая система не может бытьпотому осуществлена реальными телами.

При том очевидно, что время $t$ в их "вращающейся системе отсчета" 89.2 - это не собственное время "вращающихся тел" (неподвижных в данных координат), а совпадает с времени инерциальной системе отсчета в которой происходит вращение (время никак не преобразуется).
Т.е. "пользоваться" произвольно идущими часами (не только произвольно синхронизированными) для них вроде допустимо...