2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 20  След.
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 15:58 


09/01/24
274
Верны ли мои рассуждения или опять не туда думаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:10 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Не очень понятно, что такое эти "сценарии". Просто варианты того, где оказался $x$? Ну так их можно по-разному определять, можно сколь угодно много вариантов придумать. Например, так:
1. $x$ число и лежит в $A_1 \cap A_2 \cap \ldots$,
2. $x$ вектор и не лежит в $A_1 \cup A_2 \cup \ldots$,
3. $x$ векторное расслоение на $\mathbb R \mathrm P^\infty$ и лежит в $(A_2 \cap \ldots) \setminus A_1$,
и так далее.

Вообще вы же понимаете, как доказывать что-то перебором случаев? Например, неравенство вида $|a - b| + |b - c| \geq |a - c|$ для вещественных чисел, если про модуль знать только определение. Сначала выписываются условия на $x$, не обязательно даже в конечном числе (и не обязательно буквально на бумаге выписываются) такие, что любой $x$ из задачи удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Например, в неравенстве $x = a - b$ вещественное число, и условия надо писать такие, что каждое вещественное число удовлетворяет какому-то из них ($x \leq 0$ и $x \geq 0$ подойдут). В формуле включений-исключений $x$ вообще произвольный объект.

Далее, эти условия должны быть такими, чтобы при них всё упрощалось. Вы можете написать какие угодно неравенства на $a, b, c$, но если из этих неравенств не следует порядок между ними, все модули не раскрыть. Поэтому $a - b \leq 0$ и т.д. в условия добавлять полезно, а $a^2 + 16 b > 0$ — уже не очень. В формуле включений-исключений я предпочитаю те $2^n$ вариантов именно потому, что при каждом из них понятно, что происходит. А если написать просто условие типа $x \in A_1$, то непонятно, будет ли $x$ посчитан в $A_1 \cap A_2$, скажем.

Если всё это выполнено, то доказательство так и начинается: для любого $x$ выполнено одно из следующих условий: ... Для каждого из этих условий проверим, что что-то там выполняется: ...

Ну и иногда ещё надо, чтобы эти условия были взаимно исключающими. Для доказательств этого не требуется, но точно так же делают, когда надо считать нестандартные суммы или интегралы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:33 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1652503 писал(а):
Не очень понятно, что такое эти "сценарии". Просто варианты того, где оказался $x$?


Да,именно так
Я просто не так выразился

dgwuqtj в сообщении #1652503 писал(а):
Вообще вы же понимаете, как доказывать что-то перебором случаев?


Я ни разу не доказывал ничего перебором,поэтому не знаю
И к сожаление так же не знаю как доказать в принципе формулу В/И
И видимо не узнаю

dgwuqtj в сообщении #1652503 писал(а):
Ну и иногда ещё надо, чтобы эти условия были взаимно исключающими.


Из Вашей таблицы это можно проверить

1. $x \in A$, $x \in B$ и $x \in C$;
2. $x \in A$, $x \in B$ и $x \notin C$;
3. $x \in A$, $x \notin B$ и $x \in C$;
4. $x \in A$, $x \notin B$ и $x \notin C$;
5. $x \notin A$, $x \in B$ и $x \in C$;
6. $x \notin A$, $x \in B$ и $x \notin C$;
7. $x \notin A$, $x \notin B$ и $x \in C$;
8. $x \notin A$, $x \notin B$ и $x \notin C$.

Например вариант 1 и 3

Поскольку не может одновременно $x$ $\in$ $B$ и $x$ $\notin$ $B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:37 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96 в сообщении #1652510 писал(а):
И к сожаление так же не знаю как доказать в принципе формулу В/И
И видимо не узнаю

Ну, вы можете её прочитать... Или ещё страниц за 10 обсуждений получится, кто знает.
Elijah96 в сообщении #1652510 писал(а):
Я ни разу не доказывал ничего перебором,поэтому не знаю

А вот попробуйте доказать $|a - b| + |b - c| \geq |a - c|$.

В школьной геометрии, кстати, огромное множество фактов надо доказывать перебором. Например, ассоциативность для сложения векторов (учитывая, что сумма векторов по-разному определяется когда они линейно независимы, когда один из них нулевой, когда они сонаправлены, и когда они противоположно направлены).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:38 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1652503 писал(а):
В формуле включений-исключений я предпочитаю те $2^n$ вариантов именно потому, что при каждом из них понятно, что происходит. А если написать просто условие типа $x \in A_1$, то непонятно, будет ли $x$ посчитан в $A_1 \cap A_2$, скажем.


Но ведь для n множеств все варианты нельзя перебрать
Или можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:41 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Можно! Особенность в том, что можно придумать некое общее рассуждение, которое доказывает все эти варианты одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:43 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1652513 писал(а):
можно придумать некое общее рассуждение


И на чем основывается это общее рассуждение?

-- 31.08.2024, 16:45 --

В $|a - b| + |b - c| \geq |a - c|$ вместо a,b,c нужно поставить обычные числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 16:58 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96 в сообщении #1652514 писал(а):
В $|a - b| + |b - c| \geq |a - c|$ вместо a,b,c нужно поставить обычные числа?

Вам надо доказать это неравенство для всех вещественных чисел $a$, $b$, $c$. То есть это уже числа, но произвольные.
Elijah96 в сообщении #1652514 писал(а):
И на чем основывается это общее рассуждение?

На комбинаторике, разумеется. Вам бы сначала научиться сами случаи выписывать аккуратно, а потом уже можно учиться работать с биномиальными коэффициентами и считать всякие суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:04 


09/01/24
274
Пусть a,b,c вещественные числа

Докажем что $|a - b| + |b - c| \geq |a - c|$

Пусть:
a = -1
b = 1
c = 1

Тогда:

$ |-a - b| + |b - c| \geq |a - c| \Rightarrow |a + b| + |b - c| \geq |a - c| \Rightarrow |1 + 1| + |1 - 1| > |1 - 1| \Rightarrow |2| + |0| > |0| \Rightarrow |a - b| + |b - c| > |a - c| $

Правильная попытка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:12 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Во-первых, вы доказываете неравенство не для всех чисел, а только для каких-то трёх конкретных. Во-вторых, я вашу цепочку импликаций не понял. Вы что, хотите доказать $|{-a} - b| + |b - c| \geq |a - c| \Rightarrow |a - b| + |b - c| > |a - c|$? Так надо равенство доказывать, а не импликацию...

Можете вообще вычислить обе части неравенства при $a = -1$, $b = 1$, $c = 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:16 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1652523 писал(а):
Можете вообще вычислить обе части неравенства при $a = -1$, $b = 1$, $c = 1$?


Так я же писал

$|1 + 1| + |1 - 1| > |1 - 1| \Rightarrow |2| + |0| > |0|$

Или это не то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:18 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Если это вы числа подставили в неравенство, то вы их подставили неверно. А вообще я имел в виду сами модули раскрыть, чтобы получить чисто арифметическое выражение, типа $17 + 7 > 10$. И лучше не пишите $\Rightarrow$, если не понимаете, что такое импликация. Можно просто писать последовательность формул, как в школе выкладки делают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:38 


09/01/24
274
Да
Видимо зря я всех отвлек своей темой
Потому как до сих пор ничего не понял(

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:41 


22/11/22
605
Elijah96
Можно я вас еще раз спрошу: учебной литературой вы не пользуетесь по каким-то идейным соображениям?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение31.08.2024, 17:42 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96, вам надо было просто другую тему создавать, раз проблема не в этой формуле, а вообще в школьных методах доказательств. Никто же не начинает изучение математики с формулы включений-исключений, даже в книжках по дискретной математике перед ней куча материала. Какое у вас образование, если не секрет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 298 ]  На страницу Пред.  1 ... 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ... 20  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group