метрика Галилея

[AlexNew]

Munin писал(а):

Поворот в 4D пространстве (и в евклидовом, и в псевдоевклидовом, и в галилеевом) задаётся шестью параметрами. Геометрический смысл очень простой: берёте одну ось (например, или ), и поворачиваете её в конечное положение. На это требуется три числа, потому что поворачивать её можно в трёх независимых направлениях. После этого 1-мерное подпространство фиксируете в конечном положении, и поворачиваете нормальное к нему 3-мерное подпространство. В 3-мерном пространстве выбираете любую параметризацию, она требует трёх параметров (спиноры - тоже 3 действительных параметра). Частный случай такого поворота - это 6 параметров в галилеевом или лоренцевом пространстве-времени: первые три параметра задают скорость новой системы отсчёта, а остальные три устанавливают её пространственные оси.

Вы когда нибудь спите? или под вашим псевдонимом скрывается секретный отдел по борьбе со лженаукой ???

спасибо! как я понял есть отличный способ эфективно определить 4D вращение с помошью двух 3-векторов?
немного смущает что 3 вектор это не геометрический обьект в 4 пространстве, поскольку не сохраняется при смене координат.
еще не хочется связываться с координатами и осями.
мовет можно построить что нибудь этокое, чтобы было инвариантом в 4D и красиво описывало вращение?

к метрике галилея этот вопрос тоже может иметь отношение, для отдельной темы он наверное слишком пустяковый?

[ИгорЪ]

Ничего не понял. Если мы говорим о конкретном случае, то
1.Где член с взаимодействием?
2.Какие степени свободы и как взаимодействуют? Временная и пространственные координаты? Других то и букв в СТО лагранжиане нет.

Насколько я помню 4-вращения тоже имеют спинорную реализацию, ключевое слово "бикватернион", в сети есть.

[Munin]

AlexNew в сообщении #162761 писал(а):

Вы когда нибудь спите?

Спросите что попроще...

AlexNew в сообщении #162761 писал(а):

спасибо! как я понял есть отличный способ эфективно определить 4D вращение с помошью двух 3-векторов?
немного смущает что 3 вектор это не геометрический обьект в 4 пространстве, поскольку не сохраняется при смене координат.

"Доктор, когда я тянусь к левому уху правой рукой через затылок, у меня в шее хрустит - Тогда не делайте так."

Не нравятся 3-векторы - не используйте 3-векторы.

AlexNew в сообщении #162761 писал(а):

еще не хочется связываться с координатами и осями.
мовет можно построить что нибудь этокое, чтобы было инвариантом в 4D и красиво описывало вращение?

Да. Это называется ортогональным преобразованием 4-мерного пространства. К сожалению, точно объяснить, что это такое, можно только через координаты, оси и матрицы. Но сам по себе объект от координат не зависит, и он очень красивый.

=============================================

ИгорЪ в сообщении #162824 писал(а):

Ничего не понял. Если мы говорим о конкретном случае, то
1.Где член с взаимодействием?

1. А зачем он нужен?

ИгорЪ в сообщении #162824 писал(а):

2.Какие степени свободы и как взаимодействуют? Временная и пространственные координаты? Других то и букв в СТО лагранжиане нет.

2. Ну, например, они.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #162947 писал(а):

Ничего не понял. Если мы говорим о конкретном случае, то

1.Где член с взаимодействием?

1. А зачем он нужен?

Так вы ж сами говорите наличие L-int сигнализирует о наличии двух систем!

Munin в сообщении #162947 писал(а):

2.Какие степени свободы и как взаимодействуют? Временная и пространственные координаты? Других то и букв в СТО лагранжиане нет.

2. Ну, например, они.

Я конечно боюсь произносить это вслух, но вы намекаете, что временная степень свободы есть объемлющая система, в которой живет пространственная степень свободы - подсистема??? Или это моё извращенное понимание физики? Тогда надо идти дальше и говорить, что временная часть - объемлющая система не имеет динамики т.е. заморожена (это и есть абсолютное время Ньютона-Галилея), и член взаимодействия уже и не нужен...

[AlexNew]

Munin писал(а):

Да. Это называется ортогональным преобразованием 4-мерного пространства. К сожалению, точно объяснить, что это такое, можно только через координаты, оси и матрицы. Но сам по себе объект от координат не зависит, и он очень красивый.

я прекрасно знаю что это такое ортоганальное преобразование, это прекрасный способ проверить является ли матрица "правельной" или нет.

Но вопрос как раз в том как генерировать такие матрицы преоброзования координат - вращение в 4D, используя параметры которые определяют желаймое направление.

я знаю что можно наити генераторы алгебры Ли ("собственные матрицы" из "0" и "1" образующие группу) и представить конечные матрицы в виде матричных экспонент с параметром определяющим поворт в плоскости, НО как повернутся куда душе угодно, для этого нужно 1) както указать поворот, и 2)не совсем понятно как после этого сгенерировать финальную ортогональную матрицу.

Если сформулировать вопрос правельно, то какой наиболее "эфективный" способ задания 2D плоскости в 4D пространстве используя наверное 4-векторы?
4-вектор ортогонален гиперплоскости - 3-обьем, а это сразу 3 плоскости, а надо бы как нибудь одну выделить.
остальное вроде понятно

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #162985 писал(а):

Так вы ж сами говорите наличие L-int сигнализирует о наличии двух систем!

Чё-то вы у меня не так прочитали. Наличие $L_{mathrm{int}}$ сигнализирует о наличии взаимодействия между двумя системами.

ИгорЪ в сообщении #162985 писал(а):

Я конечно боюсь произносить это вслух, но вы намекаете, что временная степень свободы есть объемлющая система, в которой живет пространственная степень свободы - подсистема??? Или это моё извращенное понимание физики?

Ну а почему бы и нет? Теоретическая физика учит за счёт более полного понимания математическими инструментами отрываться от старых и привычных физических образов, и приходить к новым, обещающим прогресс теорий. Так что меня такие предложения уже не смущают. Видел я динамику, в которой пространство ведёт себя как время, так почему бы и наоборот, не иметь время, которое ведёт себя как степени свободы?

ИгорЪ в сообщении #162985 писал(а):

Тогда надо идти дальше и говорить, что временная часть - объемлющая система не имеет динамики т.е. заморожена (это и есть абсолютное время Ньютона-Галилея), и член взаимодействия уже и не нужен...

Она может не иметь динамики (это не значит заморозки, зто значит что-то типа кинематики), но член взаимодействия от этого не становится ненужным! Именно через него вложенная подсистема "чувствует" объемлющую как наложенные условия. Если его занулить, вложенная система освободится.

Посмотрите на три системы:
1. Атом водорода: электрон, ядро, член взаимодействия;
2. Центральное движение: электрон в кулоновском потенциале;
3. Свободное движение электрона: потенциал выключен, электрон летит прямолинейно и равномерно.

Добавлено спустя 18 минут 17 секунд:

AlexNew в сообщении #162989 писал(а):

я прекрасно знаю что это такое ортоганальное преобразование, это прекрасный способ проверить является ли матрица "правельной" или нет.

Впервые слышу об этом.

Генераторы вы должны использовать как базис. Шесть генераторов - шесть вариантов направления поворота. Из них вы можете слепить любое промежуточное направление. Экспоненту можно вычислять разными способами, и прямыми и подстановкой в готовую формулу. Прямой, например, такой: записать матричное дифференциальное уравнение для этой экспоненты и решить с нужными начальными условиями. Готовая формула, например, такая: поворот раскладывается на два независимых поворота в перпендикулярных плоскостях (в n-мерном пространстве - на $\lfloor n/2\rfloor$ поворотов), и вычисление по
$M=\mathrm{R}1+M_1\sin\varphi_1+M_2\sin\varphi_2$
где R1 - остаток от единичной матрицы, восстанавливаемый по ортогональности (в 2D-случае это, например, $\cos\varphi$).

AlexNew в сообщении #162989 писал(а):

Если сформулировать вопрос правельно, то какой наиболее "эфективный" способ задания 2D плоскости в 4D пространстве используя наверное 4-векторы?

Задайте два вектора, лежащих в этой плоскости. Или два, ей перпендикулярных.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Генераторы вы должны использовать как базис. Шесть генераторов - шесть вариантов направления поворота.

да, как раз по сути вопроса! это и есть задача,
вопрос в том как эти генераторы привязать к чему нибудь геометрическому вроде вектора,
У нас есть 6 чисел - генераторов и совсем не понятно матрица какого поворота из них получится.
былобы здорово
1) сформулировать боевую задачу: куда надо повернутся на языке 4 векторов (пока идея использожать их 2 штуки для задания плоскости ( 8-1 чисел ) плюс число - генератор - угол (или 3х мерные 6 -1 чисел + угол, но это не красиво) )
2) найти генраторы исходя из задачи - но это уже наверное детали..

Munin писал(а):

Готовая формула, например, такая: поворот раскладывается на два независимых поворота в перпендикулярных плоскостях (в n-мерном пространстве - на $\lfloor n/2\rfloor$ поворотов)

хмм.. а почему именно раскладывается по двум а не более перпендикулярным плоскостям?
а если пространство с нечетным числом измерений?

[Munin]

AlexNew в сообщении #163100 писал(а):

вопрос в том как эти генераторы привязать к чему нибудь геометрическому вроде вектора,

Они и так уже геометрические. Каждый генератор отвечает вращению в плоскости, натянутой на два вектора. Таких плоскостей в 4-мерии 6 между собой перпендикулярных. Вот и 6 генераторов.

AlexNew в сообщении #163100 писал(а):

былобы здорово
1) сформулировать боевую задачу: куда надо повернутся на языке 4 векторов

Откажитесь от векторов. Это в 3-мерии случайно совпали между собой размерность поворота и размерность вектора, так что можно задавать поворот и угловую скорость вектором. В n-мерии это не так, $n\ne n(n-1)/2.$

AlexNew в сообщении #163100 писал(а):

хмм.. а почему именно раскладывается по двум а не более перпендикулярным плоскостям?
а если пространство с нечетным числом измерений?

Потому что в 4-мерное пространство можно уложить 2 взаимноперпендикулярные 2-плоскости. Нечётное число измерений округляется вниз, что и обозначается скобочками $\lfloor\rfloor.$ Например, в 3-мерном пространстве только 1 плоскость, и одна ось всегда неподвижна (в 4-мерном может вообще не быть неподвижных подпространств, а может быть целая "2-мерная ось" - плоскость с нулевым углом поворота).

Интересней другое свойство: в 2- и 3-мерном пространстве все повороты периодические, через $2\pi$ возвращаемся к исходному варианту. В 4- и более-мерном пространстве повороты в разных плоскостях могут быть несоизмеримы (не иметь рационального отношения), из-за чего повторения не наступает никогда.

[AlexNew]

Спасибо большое за ответы!!!

Munin писал(а):

Интересней другое свойство: в 2- и 3-мерном пространстве все повороты периодические, через возвращаемся к исходному варианту. В 4- и более-мерном пространстве повороты в разных плоскостях могут быть несоизмеримы (не иметь рационального отношения), из-за чего повторения не наступает никогда.

да в самом деле интересно! впервые это слышу от вас.
Может вам известен какой нибудь доступный источник мудрости по этому вопросу? хочется узнать больше

[Munin]

AlexNew в сообщении #163278 писал(а):

да в самом деле интересно! впервые это слышу от вас.

Могли бы и сами догадаться, из представления в виде независимых вращений это сразу следует.

Источники мудрости у меня такие:
Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ
Гелъфанд, Минлос, Шапиро. Представления группы Лоренца и их применения
Розенфелъд, Замаxовский. Геометрия групп Ли
Кострикин, Манин. Линейная алгебра и геометрия
как-то так...

[AlexNew]

Спасибо!!!

[ИгорЪ]

Кроме нестандартного анализа есть более глубокий подход к заявленной задаче.
Оказывается существует идемпотентная математика, http://arxiv.org/abs/math/0507014 которая в частности реализует переход от квантовой к классической физике. Связана с неархимедовым анализом и тропической геометрией.

Технический вопрос: что физически означает тождественное зануление лагранжиана на экстремали?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #165170 писал(а):

Кроме нестандартного анализа есть более глубокий подход к заявленной задаче.
Оказывается существует идемпотентная математика

Ещё вопрос, что глубже.

ИгорЪ в сообщении #165170 писал(а):

Технический вопрос: что физически означает тождественное зануление лагранжиана на экстремали?

А где это вы такое увидели?

[AlexNew]

Цитата:

Технический вопрос: что физически означает тождественное зануление лагранжиана на экстремали?

наверное вариация имелась в виду : )
означает инвариантнось ДУ относительно опред. преоброзований

[ИгорЪ]

L=(AdB-BdA)^2