Пятое решение

[Andrey A]

vicvolf в сообщении #1650205 писал(а):

Какое это имеет отношение к методам решения этой задачи?

Просто намек на большие числа в $5$-м решении. Про методы Вы самостоятельно домыслили.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1650205 писал(а):

Какое это имеет отношение к методам решения этой задачи?

Вы решите задачу, тогда и узнаете.

[mathpath]

vicvolf в сообщении #1650205 писал(а):

nnosipov в сообщении #1650181 писал(а):

vicvolf в сообщении #1650176 писал(а):

"Мы вносим несколько улучшений в методы поиска целочисленных решений для $x^3 + y^3 + z^3 = k$ для малых значений k. Мы реализовали эти улучшения на глобальной вычислительной сетке Charity Engine из 500 000 добровольных ПК и нашли новые представления для нескольких значений k, включая 3 и 42.

ну то есть использовали вычислительный кластер

[Ende]

В этой теме обсуждается уравнение $x^2+xy+41y^2=(yz+1)^3$. Желающим обсудить уравнение $x^3+y^3+z^3=3$ лучше открыть отдельную тему.

[dmd]

$(x,y,z)=(n (-1 + 35208 m^2) - 27 m, 54 m, 326 m)$, где $(m,n)$ - решения уравнения Пелля $1 + 4401 m^2 = n^2$.

Но находится ли "пятое" решение в числе вышеобозначенных - не уверен.

[Andrey A]

dmd в сообщении #1651569 писал(а):

Но находится ли "пятое" решение в числе вышеобозначенных - не уверен.

Не находится. Слишком много цифр.
Всё-таки бесконечная серия?

[nnosipov]

dmd
Поздравляю! Вы нашли бесконечную серию решений, первое из которых --- это

$$ \begin{array}{l} x=4293387399697056954108726505365687571644804220\backslash\\ \hphantom{x={}}8272674935531700803418062449349949764908192189,\\ y=1425130951477462725710468509272,\\ z=8603568336697274973733569148568. \end{array}$$

Несмотря на большой прогресс, интрига все еще сохраняется: является ли это решение пятым в общем списке решений? (Решения считаем упорядоченными по $z$; если имеется несколько решений с одинаковым $z$, то их записываем в любом порядке.)

Кстати, найти бесконечную серию решений можно и для более общего уравнения $x^2+pxy+qy^2=(yz+1)^3$ (при некоторых ограничениях на $p$ и $q$).