Пятое решение

[nnosipov]

Эта задача была опубликована на форуме hashcode.ru, но он сейчас недоступен. Поскольку там она так и не решилась, публикую здесь.

Первые четыре решения уравнения $x^2+xy+41y^2=(yz+1)^3$ в натуральных числах таковы:

$$(x,y,z) \in \{(41,40,1),(449,20,3),(383,4,13),(50189,40,34)\}.$$

Найдите пятое решение.

Комментарий. Чтобы можно было сравнить: вопрос о существовании пятого решения уравнения $x^3+y^3+z^3=3$, заданный Л. Морделлом в 1953 году, получил ответ только в 2021 году. Здесь первые четыре решения суть $(1,1,1)$ и $(4,4,-5)$ с перестановками, а пятое решение дается равенством

$$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+ (-472715493453327032)^3=3.$$

Но с моим уравнением история, конечно, попроще. Предварительно можно потренироваться на лайт-версии задачи, опубликованной в AMM под номером 12461.

[Andrey A]

nnosipov в сообщении #1648502 писал(а):

$x^2+xy+41y^2=(yz+1)^3$

Тут, конечно, связь с уравнением $a^3=b^2+163c^2\ \left( x=b-c,y=2c,z=\dfrac{a-1}{2c} \right)$. Его решение от двух нечетных параметров $p,q$ такое:

$$a=\dfrac{p^2+163q^2}{4}, b=\left| \dfrac{p(p^2-489q^2)}{8} \right|,c=\left| \dfrac{q(3p^2-163q^2)}{8} \right|.$$

Но $z$ по умолчанию выходит дробное, в том и заковыка. Четыре указанных решения находим, перебирая маленькие $c$ из разложения $\sqrt{\dfrac{163}{3}}$, для пятого требуется более осмысленный поиск. Или более сильными средствами. А оно есть? Если бы тут удалось решить систему сравнений, то пятое решение дало бы бесконечную серию. Что-то сомнительно.

[nnosipov]

Andrey A
Насчет пятого решения: пока хочется сохранить интригу. Я ведь тоже сначала не знал. Кстати, уравнение $x^2+xy+41y^2=(yz-1)^3$ имеет только одно решение $(x,y,z)=(7047487,2626,14)$.

[mathpath]

Для x=86129, y=90 выполняется равенство
x² + xy + 41y² = 1951³

[nnosipov]

mathpath
Да, но здесь $z$ нецелое.

[mathpath]

В правой части должен быть куб простого числа
Но это очень слабый критерий для поиска

[nnosipov]

mathpath в сообщении #1649926 писал(а):

В правой части должен быть куб простого числа

А почему?

[mathpath]

nnosipov в сообщении #1649928 писал(а):

mathpath в сообщении #1649926 писал(а):

В правой части должен быть куб простого числа

А почему?

Это чисто эмпирическое утверждение
Сделанное на основании ваших 4-х решений

[Cnupm]

nnosipov в сообщении #1648502 писал(а):

Комментарий. Чтобы можно было сравнить: вопрос о существовании пятого решения уравнения $x^3+y^3+z^3=3$, заданный Л. Морделлом в 1953 году, получил ответ только в 2021 году. Здесь первые четыре решения суть $(1,1,1)$ и $(4,4,-5)$ с перестановками, а пятое решение дается равенством

$$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+ (-472715493453327032)^3=3.$$

А будет ли шестое?

[nnosipov]

Cnupm
Понятия не имею. В этой теме нужно искать пятое решение.

[vicvolf]

nnosipov Убедился в отсутствии натуральных решений данной задачи при $34<z \leq 100$. Не вижу смысла в олимпиадных задачах на компьютерный перебор вариантов.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1650024 писал(а):

Убедился в отсутствии натуральных решений данной задачи при $34<z \leq 100$.

Как убедились-то? Можете доказать, к примеру, что при $z=100$ нет решений $(x,y)$ в натуральных числах?

vicvolf в сообщении #1650024 писал(а):

Не вижу смысла в олимпиадных задачах на компьютерный перебор вариантов.

Интересно, а почему Вы решили, что это задача "на компьютерный перебор вариантов"? Только потому, что при поиске решений Вы использовали компьютер? Вообще, понять "на что" была задача, можно только после того, как ее решишь, не раньше.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1650058 писал(а):

Как убедились-то?

Нашел все Ваши 4 натуральных решения при $z=1,3.13,34$ в WolframAlpha и далее проверил там же отсутствие натуральных решений до $z=100$.

vicvolf в сообщении #1650024 писал(а):

Не вижу смысла в олимпиадных задачах на компьютерный перебор вариантов.

Это не конкретно о Вашей задаче.

nnosipov в сообщении #1648502 писал(а):

Комментарий. Чтобы можно было сравнить: вопрос о существовании пятого решения уравнения $x^3+y^3+z^3=3$, заданный Л. Морделлом в 1953 году, получил ответ только в 2021 году. Здесь первые четыре решения суть $(1,1,1)$ и $(4,4,-5)$ с перестановками, а пятое решение дается равенством

$$569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+ (-472715493453327032)^3=3.$$

.

А можно ссылку на метод решения. Не нашел с ин-т.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1650176 писал(а):

А можно ссылку на метод решения.

Например, вот.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1650181 писал(а):

vicvolf в сообщении #1650176 писал(а):

А можно ссылку на метод решения.

Например, вот.

Спасибо, посмотрел. Вот аннотация - "Мы вносим несколько улучшений в методы поиска целочисленных решений для $x^3 + y^3 + z^3 = k$ для малых значений k. Мы реализовали эти улучшения на глобальной вычислительной сетке Charity Engine из 500 000 добровольных ПК и нашли новые представления для нескольких значений k, включая 3 и 42. Это завершает поиск, начатый Миллером и Вуллеттом в 1954 году, и решает задачу, поставленную Морделлом в 1953 году. " Понятно, почему только сейчас решили эту задачу. Раньше не было глобальной вычислительной сетки Charity Engine из 500 000 добровольных ПК. Какое это имеет отношение к методам решения этой задачи?