Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2

[nnosipov]

Решите уравнение $x^3+y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах.

Комментарий. Здесь рекомендуется не цепляться за симметрию и за возможность факторизовать левую часть, а сразу подумать, как можно было бы решать более общее уравнение с произвольной кубической формой (или даже многочленом) в левой части.

[vicvolf]

maxal в сообщении #1651096 писал(а):

Гораздо более ценно было бы описать как можно более общий метод и класс уравнений им решаемых.

Если конечно не ошибаюсь, то учитывая диофантово уравнение с тремя неизвестными 2, данный метод позволяет находить решения в натуральных числах для уравнения: $P(x_1,x_2,...,x_k)=ax^l_1 \cdot x^l_2 \cdot ...\cdot x^l_k \cdot x^2_{k+1}+ax_1 \cdot x_2 \cdot...\cdot x_k \cdot x_{k+1}+c$, где $P(x_1,x_2,...,x_k)$ и $c=c(x_1,x_2,...,x_k)$- многочлены $n$- степени от $k$ - переменных.
В этом случае, получаем уравнение 2-ой степени относительно $x__{k+1}$, которое может иметь натуральные решения.

В частном случае для уравнения

nnosipov в сообщении #1648600 писал(а):

$x^3+y^3=(xyz-1)^2$

получаем: $z=\frac {1+\sqrt{x^3+y^3}}{xy}$, которое должно быть натуральным. Далее решение проводится методом, который дал автор в теме Диофантово уравнение с тремя неизвестными -1.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1651245 писал(а):

Далее решение проводится методом, который дал автор в теме Диофантово уравнение с тремя неизвестными -1.

Вот и продемонстрируйте, как Вы поняли этот метод. То есть, напишите подробное решение.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Спасибо, если будет желание и время.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1648600 писал(а):

Решите уравнение $x^3+y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах.

А почему такая формулировка, а не доказать, что данное уравнение не имеет решений в натуральных числах?

[nnosipov]

Потому что оно их имеет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1651356 писал(а):

Потому что оно их имеет.

$x=1,y=2,z=2$. WolframAlpha выдал, что натуральных решений у него нет.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1651357 писал(а):

WolframAlpha выдал, что натуральных решений у него нет.

Вот и верь после этого людям...