2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2
Сообщение02.12.2024, 06:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
Руст в сообщении #1663393 писал(а):
В этом случае x,y величины одного порядка $z^2+O(1)$.
Руст в сообщении #1663393 писал(а):
C праздником дня МАТЕМАТИКА
А, понятно, хорошо отмечаете :) И тем не менее, $x$ будет порядка $z^6$ (нарисуйте график, что ли). Остальное посмотрю, возможно, там что-то и есть.

В любом случае Вы опираетесь на случайное обстоятельство --- возможность факторизовать левую часть уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2
Сообщение02.12.2024, 08:12 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
Руст в сообщении #1663393 писал(а):
Если $D=3c^2\to (2b-a^2)(2b+a^2)=3c^2$.
Если $2b-a^2=k$ не является делителем 6, то $(a,b)\neq 1$.
Вот наименьший контрпример: $a=1$, $b=13$, $c=15$, $k=25$. Компьютерные вычисления показывают, что таких контрпримеров много. Вот еще: $a=47$, $b=3769$, $c=4161$, $k=5329$. Так что уравнение $4b^2-a^4=3c^2$ просто так решить не удастся, даже при условии $\gcd{(a,b)}=1$.

-- Пн дек 02, 2024 12:18:42 --

Руст в сообщении #1663382 писал(а):
Если с не делитель 3, то противоречие с $(a,b)=1$.
Тоже неверно, контрпримеров много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2
Сообщение02.12.2024, 11:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Придется дать полное решение. Я включился из-за якобы оценки через производную.
Например, уравнение Пелля $x^2-Dy^2=a$ в зависимости от a имеет бесконечное количество решений или ни одного. Никакие оценки с производными ничего не дают).
Если можно приведите такое решение полностью.
Вот мое решение.
Разложим $x^3-y^3=(x-y)((x-y)^2+3xy)=uv$.
Попробуем не учесть взаимную простоту (точнее $gcd(u,v)|3$).
$xy=\frac{v-u^2}{3}$. $uv=c^2$ и $z=\frac{3c+3}{v-u^2}=\frac{3(c+1)u}{c^2-u^3}$.
Без учета взаимной простоты появятся лишние решения, например $u=2,c=3$. Возможно таких решений много.
Учтем, что $u=a^2,v=b^2, c=ab$
или $u=3a^2, v=3b^2, c=3ab$,
где $(a,b)=1$.
Случай 1. $z=\frac{3(ab+1)}{b^2-a^4}=\frac{3(ab+1)}{(b-a^2)(b+a^2)}$ (опять разложили)
Пусть $b=a^2+d$, тогда $z=\frac{3(a^3+ad+1)}{d(2a^2+d)}$
$z\ge 1\to d$ $$(2d+2a^2-3a)^2\le (2a^2-3a)^2+12(a^3+1)\to d\le \sqrt{(a^2-3a/2)^2+3a^3+3}-(2a^2-3a/2)$$
Если $a>6$, то $d<1$.
Случай 2.
Если $d=1$, $3(a^3+a+1)=k(2a^2+1)$, $2k=3a+e$
$3a+6=e(2a^2+1)\to (a,e)=(-2,0), (-1,1),(0,6),(1,3)$
$d\ge 2$ $2z=\frac{3a+\frac{3ad+6}{2a^2+d}}{d}$ Делимости нет или не выполняется ограничение на $d$.
Случай 2. $xy=b^2-3a^4, c=3ab, z=\frac{3ab+1}{b^2-3a^4}\ge 1. $ $D=t^2=4b^2-3a^4, y=\frac{t-3a^2}{2}$.
Отсюда $4b^2=3a^4+(3a^2+2y)^2\to b^2=3a^4+3a^2y+y^2$.
Надо заметить, что если в знаменателе $b^2-3a^2$ то бесконечно много решений из уравнения Пелля.
Здесь надо получить неравенство на $\alpha=b-a^2\sqrt{3}\ge \frac{1}{a}$ при $y\ge 2$.
Оставлю на следующий раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2
Сообщение02.12.2024, 13:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9085
Руст в сообщении #1663427 писал(а):
Например, уравнение Пелля $x^2-Dy^2=a$ в зависимости от a имеет бесконечное количество решений или ни одного. Никакие оценки с производными ничего не дают).
А что, я утверждал, что оценки с производными всегда работают?
Руст в сообщении #1663427 писал(а):
Если можно приведите такое решение полностью.
Сейчас я занят. Можете подождать, скоро решение этой задачи (в том числе) выложат на сайте олимпиады https://smc.nsu.ru. Возможно, 12d3 захочет написать свое решение.
Руст в сообщении #1663427 писал(а):
тогда $z=\frac{3(a^3+ad+1)}{d(2a^2+d)}$
Если Вы здесь опираетесь только на неравенство $z \geqslant 1$, то получите лишь оценку $d<3a/2+O(1)$.
Руст в сообщении #1663427 писал(а):
$z\ge 1\to d$ $$(2d+2a^2-3a)^2\le (2a^2-3a)^2+12(a^3+1)\to d\le \sqrt{(a^2-3a/2)^2+3a^3+3}-(2a^2-3a/2)$$
Если $a>6$, то $d<1$.
Ваш неряшливый стиль Вас же и подводит. Имейте в виду, мне скоро надоест разбирать Ваши каракули. Ни я, ни другие участники форума не заслуживаем подобных текстов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group