Диофантово уравнение с тремя неизвестными-2

[nnosipov]

Решите уравнение $x^3+y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах.

Комментарий. Здесь рекомендуется не цепляться за симметрию и за возможность факторизовать левую часть, а сразу подумать, как можно было бы решать более общее уравнение с произвольной кубической формой (или даже многочленом) в левой части.

[vicvolf]

maxal в сообщении #1651096 писал(а):

Гораздо более ценно было бы описать как можно более общий метод и класс уравнений им решаемых.

Если конечно не ошибаюсь, то учитывая диофантово уравнение с тремя неизвестными 2, данный метод позволяет находить решения в натуральных числах для уравнения: $P(x_1,x_2,...,x_k)=ax^l_1 \cdot x^l_2 \cdot ...\cdot x^l_k \cdot x^2_{k+1}+ax_1 \cdot x_2 \cdot...\cdot x_k \cdot x_{k+1}+c$, где $P(x_1,x_2,...,x_k)$ и $c=c(x_1,x_2,...,x_k)$- многочлены $n$- степени от $k$ - переменных.
В этом случае, получаем уравнение 2-ой степени относительно $x__{k+1}$, которое может иметь натуральные решения.

В частном случае для уравнения

nnosipov в сообщении #1648600 писал(а):

$x^3+y^3=(xyz-1)^2$

получаем: $z=\frac {1+\sqrt{x^3+y^3}}{xy}$, которое должно быть натуральным. Далее решение проводится методом, который дал автор в теме Диофантово уравнение с тремя неизвестными -1.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1651245 писал(а):

Далее решение проводится методом, который дал автор в теме Диофантово уравнение с тремя неизвестными -1.

Вот и продемонстрируйте, как Вы поняли этот метод. То есть, напишите подробное решение.

[vicvolf]

(Оффтоп)

Спасибо, если будет желание и время.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1648600 писал(а):

Решите уравнение $x^3+y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах.

А почему такая формулировка, а не доказать, что данное уравнение не имеет решений в натуральных числах?

[nnosipov]

Потому что оно их имеет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1651356 писал(а):

Потому что оно их имеет.

$x=1,y=2,z=2$. WolframAlpha выдал, что натуральных решений у него нет.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1651357 писал(а):

WolframAlpha выдал, что натуральных решений у него нет.

Вот и верь после этого людям...

[nnosipov]

На Студенческой математической олимпиаде https://smc.nsu.ru в этом году первокурсникам была предложена похожая задача: решить уравнение $x^3-y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах. Составители варианта задач поставили ее на 3-е место (всего 5 задач). Следующая за ней 4-я задача мне показалось очень простой, хотя номинально должна быть сложнее. Вот она:

4-я задача. Существует ли полином $p(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $p(3+\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5}$ и
а) $p(3-\sqrt{7}) = 4-\sqrt{7}$?
б) $p(3-\sqrt{7}) = 5-\sqrt{7}$?

Крайне любопытно будет увидеть статистику решения 3-й задачи. Судя по реакции здесь, на форуме, она не совсем простая.

[12d3]

nnosipov в сообщении #1663325 писал(а):

решить уравнение $x^3-y^3=(xyz-1)^2$ в натуральных числах

Если смотреть на это как на функции $x$, то корень примерно равен $y^2z^2$. При строгом равенстве получим решение - три единички. А производная левой части в полтора раза больше производной правой, и при сдвиге даже на единицу левая часть становится строго больше или меньше правой. Надо только аккуратно посмотреть, что происходит при маленьких $y$ и $z$.

[nnosipov]

12d3
Вообще-то да, так и есть.

[Руст]

Не согласен с вашими выводами. Дело в том, что при $y=z^2+O(1)$ значение $x$ не будет порядка $z^6$
Задача на квадратное уравнение. Это уравнение совпадает с вашим при замене $y\to -y, x\to -z$. Можно решать в целых числах.
Из правой части получаем, что $(x,y)=1$ (взаимно просты). По сути для этого служит правая часть, являющаяся квадратом целого числа.
Из разложения левой части $(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(3xy+(x-y)^2)$.
Из взаимной простоты $(x,y)=1$ следует, что или

$$x-y=a^2, \ 3xy=b^2-a^4$$

или

$$x-y=3a^2, xy=b^2-3a^4.$$

При этом $(a,b)=1$ (взаимно просты).
Случай 2. Числа $x, (-y)$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-3a^2t+3a^4-b^2$ с дискриминантом $D=4b^2-3a^4=(2b-c)^2$
$a^4=\frac{(4b-c)c}{3}$ Случай 2.1 $c=1\to 4b=1+3a^4\to x=\frac{6a^2+3a^4-1}{2}, y=\frac{6a^2-3a^4+1}{2}$ Только при $a=\pm 1$ натуральные решения.
Аналогично $c=3$ $x=\frac{6a^2+a^4-3}{2}, y=\frac{6a^2-a^4+3}{2}$ натуральные решения только при $a=\pm 1$.
Если с не делитель 3, то противоречие с $(a,b)=1$.
Случай 1 $D=\frac{4b^2-a^4}{3}$ рассматривается аналогично.

[nnosipov]

Руст в сообщении #1663382 писал(а):

Дело в том, что при $y=z^2+O(1)$ значение $x$ не будет порядка $z^6$

Будет. Вы опять, наверное, вручную считаете.

Я уже выше намекал, что не нужно цепляться за факторизацию левой части (тем более, что только в одном случае там удастся дойти до конца). Вот прототип задачи (см. на стр. 121 книги Гашков С.Б., Чубариков В.Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Высшая школа, 2000.)

10.48. Докажите, что уравнение

$$x^3+y^3=(3xyz-1)^2$$

не имеет решений в натуральных числах $x$, $y$, $z$.

Обратите внимание на множитель $3$ в правой части. Он там не просто так поставлен. Посмотрите решение этой задачи в книге, чтобы понять, где эта тройка используется.

Руст в сообщении #1663382 писал(а):

Случай 1 $D=\frac{4b^2-a^4}{3}$ рассматривается аналогично.

Не верю. Напишите подробное доказательство.

[nnosipov]

Руст в сообщении #1663382 писал(а):

Если с не делитель 3, то противоречие с $(a,b)=1$.

Загадочное утверждение. Здесь тоже нужны подробности. Такое ощущение, что Вы хотите на халяву решить содержательную задачу.

[Руст]

Руст в сообщении #1663382 писал(а):
Дело в том, что при $y=z^2+O(1)$ значение $x$ не будет порядка $z^6$
Будет. Вы опять, наверное, вручную считаете. В этом случае x,y величины одного порядка $z^2+O(1)$.

Продолжу. Если $D=3c^2\to (2b-a^2)(2b+a^2)=3c^2$.
Если $2b-a^2=k$ не является делителем 6, то $(a,b)\neq 1$.
$2b-a^2=k|6\to x=\frac{a^2+c}{2}, y=\frac{c-a^2}{2}, 2a^2+k=\frac{3c^2}{k}$.
Случай $k=2$ (попроще) $c=2d\to a^2+1=3d^2$ не имеет решения по модулю 3.
Случай $k=3$ $2a^2+3=c^2$ не имеет решения по модулю 3.
Случай $k=1$ $2a^2+1=3c^2$ $a,c$ нечетные - решения есть типа $a=1,c=1$.
Однако, в случае $c>1\to c\ge 3\to a\aprox \sqrt{3/2}c\to y=\frac{c-a^2}{2}<0.$

C праздником дня МАТЕМАТИКА