Не согласен с вашими выводами. Дело в том, что при

значение

не будет порядка

Задача на квадратное уравнение. Это уравнение совпадает с вашим при замене

. Можно решать в целых числах.
Из правой части получаем, что

(взаимно просты). По сути для этого служит правая часть, являющаяся квадратом целого числа.
Из разложения левой части

.
Из взаимной простоты

следует, что или

или

При этом

(взаимно просты).
Случай 2. Числа

являются корнями квадратного уравнения

с дискриминантом


Случай 2.1

Только при

натуральные решения.
Аналогично

натуральные решения только при

.
Если с не делитель 3, то противоречие с

.
Случай 1

рассматривается аналогично.