Определение естественного порядка

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1651053 писал(а):

Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.

Это неформальная болтовня. На формальном уровне множества не "задают", а доказывают существование нужных множеств.

[Ende]

Vasily2024
Чтобы процитировать нужный фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" под этим же сообщением. Нажимая кнопку под другим сообщением, Вы неправильно указываете автора цитаты.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1651060 писал(а):

Это неформальная болтовня.

Вы не ответили на вопрос:
Способ задания множества - это общепринятое понятие или нет?

[drzewo]

Vasily2024 в сообщении #1651074 писал(а):

Способ задания множества - это общепринятое понятие или нет?

Это общепринятое понятие. Только это не математика в собственном смысле этого слова.

-- 22.08.2024, 20:56 --

У вас, и это типично для самоучек, сложилось совершенно превратное представление о предмете в целом. Теперь вы, фактически, пытаетесь навязать его другим, требуя разговаривать с вами с ваших же позиций.

[mihaild]

(Оффтоп)

Vasily2024 в сообщении #1651074 писал(а):

Вы не ответили на вопрос

Потому что Вы его не задали. Иначе процитируйте.

Vasily2024 в сообщении #1651074 писал(а):

Способ задания множества - это общепринятое понятие или нет?

Способ задания множества - это общепринятое рукомашество. С которым обычно не возникает проблем, но иногда возникает, и тогда тот, кто пытался использовать это словосочетание, должен переформулировать более строго, в терминах существования множеств.

[skobar]

Насчет задания множеств есть система аксиом Цермело-Френкеля. Она, в частности, определяет, как из уже существующих множеств корректно строить другие множества. Думаю, все знакомы с парадоксом Рассела, к которому приводит "наивный" подход. Скажем, aхiom of specification говорит, что нельзя определять множество задавая только свойство, которому должны удовлетворять элементы - необходимо ещё условие, чтобы все рассматриваемые элементы были в каком-то уже существующем корректном множестве.

Это я к тому, что способы задания множеств - это таки математика, и она совсем не так проста, как может показаться на первый взгляд.

[mihaild]

skobar в сообщении #1651097 писал(а):

Она, в частности, определяет, как из уже существующих множеств корректно строить другие множества

Вот это как раз неформальный подход. Который конечно повсеместно распространен, но в данном случае Вы только лишний раз путаете ТС.

Формально, ZF - это набор утверждений о том, какие множества существуют. Аксиома спецификации используется в виде "уже доказано что существует такое множество, значит существует и вот такое".

Более того, и конструктивизм, который заявляет что он про "построение" объектов, на самом деле имеет такой же вид - просто принимается чуть меньше акиом о существовании.

[skobar]

mihaild в сообщении #1651099 писал(а):

skobar в сообщении #1651097 писал(а):

Она, в частности, определяет, как из уже существующих множеств корректно строить другие множества

Вот это как раз неформальный подход. Который конечно повсеместно распространен, но в данном случае Вы только лишний раз путаете ТС.

Формально, ZF - это набор утверждений о том, какие множества существуют. Аксиома спецификации используется в виде "уже доказано что существует такое множество, значит существует и вот такое".

Более того, и конструктивизм, который заявляет что он про "построение" объектов, на самом деле имеет такой же вид - просто принимается чуть меньше акиом о существовании.

Не понимаю, почему это не формальный подход. Все аксиомы строго сформулированы, на мой взгляд подход самый что ни на есть формальный, может быть даже чересчур формальный, с точки зрения здравого смысла.

Да, ZF - это набор утверждений, что определенные множества существуют, но это никак не противоречит тому, что это ещё и набор безопасных способов, как из уже существующих множеств строить новые. Например, та же axiom of specification описывает корректный способ, как из данного множества построить новое (являющееся подмножеством данного), axiom of unions говорит как из семейства множеств корректно построить новое (их объединение), axiom of pairing ... ну вы поняли.

Просто ТС упомянул, что "есть два способа задания множеств - путем перечисления элементов и путем их описания", т.е. автор обнаружил незнакомство с предметом и с подводными камнями при таком подходе (типа парадокса Рассела). На мой взгляд, знакомство с системой ZF позволит улучшить представление о способах заданий множеств с математической точки зрения.

[mihaild]

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

Все аксиомы строго сформулированы

И где например в схеме аксиом замены ("для каждой формулы $P(x)$, в которую $y$ не входит свободно, формула $\forall x \exists y \forall z: z \in y \leftrightarrow z \in x \wedge P(z)$ является аксиомой") символ "построение"?

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

но это никак не противоречит тому, что это ещё и набор безопасных способов, как из уже существующих множеств строить новые

Противоречит. В формальной теории множеств нет символа, означающего "построение".

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

axiom of specification описывает корректный способ, как из данного множества построить новое

Нет, она говорит, что если такое множество существует, то и другое существует. Никакого "как" в ней нет.
(поэтому в том числе разговоры о неконструктивности аксиомы выбора мне представляются несколько странными)

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

Просто ТС упомянул, что "есть два способа задания множеств - путем перечисления элементов и путем их описания"

Это безусловно еще хуже, чем вообще говорить о "построении". Но ИМХО лечится сначала запретом на разговоры о "построении вообще" и приучении к правильному формализму. А уже потом будет понимание, где рукомашество про "построение" допустимо.

[skobar]

mihaild в сообщении #1651104 писал(а):

И где например в схеме аксиом замены ("для каждой формулы $P(x)$, в которую $y$ не входит свободно, формула $\forall x \exists y \forall z: z \in y \leftrightarrow z \in x \wedge P(z)$ является аксиомой") символ "построение"?

Я не понимаю, что вы написали выше, но если имеется ввиду axiom schema of replacement, то на простом языке она утверждает, что образ корректно определенной функции будет множеством. Другими словами, аксиома дает способ, как при помощи множества и функции построить новое множество. Если вы имеете ввиду что-то другое, то это другое не входит в число аксиом ZF

mihaild в сообщении #1651104 писал(а):

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

но это никак не противоречит тому, что это ещё и набор безопасных способов, как из уже существующих множеств строить новые

Противоречит. В формальной теории множеств нет символа, означающего "построение".

Вот, например, что пишет Paul Halmos в своей книге для undergraduate students "Naive Set Theory", прямо в начале section 2:

All the basic principles of set theory, except only the axiom of extension, are designed to make new sets out of old ones.

Далее в книге обсуждаются аксиомы, начиная с axiom of specification.

Вы будете спорить с Полом Халмошем, или он для вас не авторитет?

[dgwuqtj]

skobar в сообщении #1651100 писал(а):

Не понимаю, почему это не формальный подход. Все аксиомы строго сформулированы, на мой взгляд подход самый что ни на есть формальный, может быть даже чересчур формальный, с точки зрения здравого смысла.

Тут дело в том, что ТС думал, будто есть некое разделение множеств на "абстрактные" и "конкретные". С формальной точки зрения есть только буквы, которые обозначают какие-то множества, и формулы с этими буквами, которые обозначают известные про множества факты. Мы даже не можем сформулировать "множество $X$ может быть явно сконструировано при помощи аксиом" в виде формулы с буквой $X$.

[mihaild]

skobar в сообщении #1651110 писал(а):

Я не понимаю, что вы написали выше

Схему аксиомы выделения (сначала хотел написать замены, потом решил ограничиться более простой, а поправить забыл).

skobar в сообщении #1651110 писал(а):

то на простом языке

А я про формальную ZF, а не "простой подход". Потому что если при простом подходе путаница, то надо переходить к формализму.

dgwuqtj в сообщении #1651112 писал(а):

Другими словами, аксиома дает способ, как при помощи множества и функции построить новое множество

Нет. Каждая из аксиом, получающихся по схеме (кстати это именно схема аксиом, а не аксиома) утверждает, что для любого множества сущетствует множество вот с таким свойством. Собственно формула выше.

skobar в сообщении #1651110 писал(а):

Если вы имеете ввиду что-то другое, то это другое не входит в число аксиом ZF

Нет, как раз то, что я написал, входит в аксиомы ZF, а какие-то "построения" - нет.

skobar в сообщении #1651110 писал(а):

Вы будете спорить с Полом Халмошем, или он для вас не авторитет?

Я буду спорить с тем, что эти "принипы" являются частью формальной теории множеств. Заметьте, что в его формулировке аксиом говорится именно о существовании множеств.
Естественно удобно рассуждать в терминах "построения" множеств, так же как в диффгеме удобно гнуть поверхности. Но нужно понимать, что на формальном уровне ничего не строится и не гнется, а доказывается существование (и берутся функции из момента куда-то там).

[skobar]

mihaild
Т.е. вы все-таки спорите с Халмошем. Тогда ваше видение аксиом Цермело-Френкеля существенно отличается от того, как их видит и интерпретирует остальной математический мир. Имеете право на особое мнение

[Mikhail_K]

skobar в сообщении #1651116 писал(а):

Т.е. вы все-таки спорите с Халмошем. Тогда ваше видение аксиом Цермело-Френкеля существенно отличается от того, как их видит и интерпретирует остальной математический мир. Имеете право на особое мнение

Да нет, не отличается.

Что вообще такое "построить множество"? По-моему, это просто то же самое, что доказать его существование конструктивным образом - т.е. иметь инструменты для выяснения, принадлежит ли этому множеству тот или иной элемент или нет. И да, это понятие довольно расплывчатое.

Понятно, что "построить множество" - это такой жаргон в математике, и эти слова точно не означают, что в какой-то момент множества не было, а потом оно появилось (оказалось "построено"). Об этом mihaild и говорит, что надо уметь отличать собственно математику от слов, которые говорятся вокруг неё.

[mihaild]

skobar в сообщении #1651116 писал(а):

Т.е. вы все-таки спорите с Халмошем

Нет. Напишите, в каком месте он формализует "построение" в смысле, отличном от "доказательство существования".