Порядок является естественным если
Такого определения нет. "Естественный" - это не какая-то характеристика порядка, которая для одних порядков выполняется, а для других нет. Сказать "естественный" - это, в общем, то же самое, что сказать "понятно, какой" или "подразумеваемый".
Нельзя определить естественный порядок на произвольном множестве. Конечно, для естественного порядка на

можно дать определение - оно зависит от того, какое определение самого

используется. Если

определяется аксиоматически, то вместе с ним аксиоматически задаётся и порядок (тот самый, естественный). Если

определяется, например, через сечения Дедекинда - то там же обязательно определяется и порядок. Он и есть естественный.
Но, например Пфанцангель, говорит о системе

c естественным порядком. Мне кажется, что это не верно и вот почему:
Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел

задано
отношение порядка. Например,

если

.
Так как система

не содержит алгебраических операций, то система

определена некорректно.
Ну ничего не мешает сначала определить порядок, тем или иным способом, скорее всего вместе с алгебраическими операциями, а потом про алгебраические операции "забыть" и рассматривать только порядок. Это какие-то придирки у Вас.
способ сравнения элементов не задан в явном виде (отношение порядка определено, но не задано явно)?
Здесь Вы тоже как-то не в ту сторону думаете. Для математики в целом совсем не существенно, что одни порядки "заданы явно", а другие не "заданы явно". Это просто неважно.
Есть две системы. Одна абстрактная

другая конкретная

$. С точки зрения алгебры - это однотипные системы.
Но в первом случае отношение порядка явно не определено, а во втором - определено явно.
Будет ли такой текст воспринят алгебраистами правильно?
Единственный совет, который можно дать про "абстрактные и конкретные системы", и про прочие устаревшие понятия, утратившие смысл в современной математике - это выбросить их из головы. Уже ведь был разговор с Вами по этому поводу. Ничего нового Вы тут не услышите.