Определение естественного порядка

[bot]

Vasily2024 в сообщении #1650802 писал(а):

Система $(A,<)$ отличается от системы $(R,<)$

Несомненно отличается, прежде всего носителями. Про первый носитель ничего не сказано, а про отношение и вовсе говорить не приходится. Под вторым носителем можно подозревать множество действительных чисел, но это не точно. Если бы вместо $R$ было бы $\mathbb R$, то подозрения подтвердились бы. В этом случае система $(\mathbb R, < ) $ - это множество действительных чисел с определённым на нём отношением меньше, если даже не сопровождать его словом естественный. В том месте, где такая система встретилась, автор подразумевает, что читатель знаком с этим отношением со школы, и троллить не станет. Термина естественный порядок (natural order) в математике нет.

[Vasily2024]

Хорошо, тогда остается так:
Система $(A,<)$ не отличается от системы $(R,<)$.
Но на множестве действительных чисел $R$ отношение порядка задано в явном виде, а на множестве $A$ не задано явно?

-- 20.08.2024, 12:53 --

[mihaild]

Обозначение множества вещественных чисел - \mathbb{R} $\mathbb R$.

На любом множестве можно задать отношение порядка ("явно" - уже не совсем формальная конструкция, в разных случаях формализующаяся по-разному, иногда вообще не формализующаяся).

Приведите, всё-таки, контекст. Пока что кажется что Вы пытаетесь что-то раскопать там, где ничего нет. Упорядоченное множество - это пара (носитель, отношение порядка). Иногда жаргонно говорят "на множестве задано отношение порядка", "на множестве определено отношение порядка" и т.д., подразумевая, что некоторое (из контекста понятно, какое) множество является отношением порядка на нашем.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650818 писал(а):

Приведите, всё-таки, контекст.

Есть две системы. Одна абстрактная $(A, <)$ другая конкретная $(\mathbb{R},<) $$. С точки зрения алгебры - это однотипные системы.
Но в первом случае отношение порядка явно не определено, а во втором - определено явно.

Будет ли такой текст воспринят алгебраистами правильно?

[dgwuqtj]

Ещё хорошо бы порядки на них по-разному обозначить, $(A, <_A)$ и $(\mathbb R, <_{\mathbb R})$. А можно определение абстрактной системы? В математике такого понятия нет.

[Mikhail_K]

Vasily2024 в сообщении #1650395 писал(а):

Порядок является естественным если

Такого определения нет. "Естественный" - это не какая-то характеристика порядка, которая для одних порядков выполняется, а для других нет. Сказать "естественный" - это, в общем, то же самое, что сказать "понятно, какой" или "подразумеваемый".

Нельзя определить естественный порядок на произвольном множестве. Конечно, для естественного порядка на $\mathbb{R}$ можно дать определение - оно зависит от того, какое определение самого $\mathbb{R}$ используется. Если $\mathbb{R}$ определяется аксиоматически, то вместе с ним аксиоматически задаётся и порядок (тот самый, естественный). Если $\mathbb{R}$ определяется, например, через сечения Дедекинда - то там же обязательно определяется и порядок. Он и есть естественный.

Vasily2024 в сообщении #1650660 писал(а):

Но, например Пфанцангель, говорит о системе $(R, >)$ c естественным порядком. Мне кажется, что это не верно и вот почему:

Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел $R$ задано
отношение порядка. Например, $a > b$ если $a - b>0$.
Так как система $(R, >)$ не содержит алгебраических операций, то система $(R, >)$ определена некорректно.

Ну ничего не мешает сначала определить порядок, тем или иным способом, скорее всего вместе с алгебраическими операциями, а потом про алгебраические операции "забыть" и рассматривать только порядок. Это какие-то придирки у Вас.

Vasily2024 в сообщении #1650802 писал(а):

способ сравнения элементов не задан в явном виде (отношение порядка определено, но не задано явно)?

Здесь Вы тоже как-то не в ту сторону думаете. Для математики в целом совсем не существенно, что одни порядки "заданы явно", а другие не "заданы явно". Это просто неважно.

Vasily2024 в сообщении #1650822 писал(а):

Есть две системы. Одна абстрактная $(A, <)$ другая конкретная $(\mathbb{R},<) $$. С точки зрения алгебры - это однотипные системы.
Но в первом случае отношение порядка явно не определено, а во втором - определено явно.

Будет ли такой текст воспринят алгебраистами правильно?

Единственный совет, который можно дать про "абстрактные и конкретные системы", и про прочие устаревшие понятия, утратившие смысл в современной математике - это выбросить их из головы. Уже ведь был разговор с Вами по этому поводу. Ничего нового Вы тут не услышите.

[Vasily2024]

Mikhail_K в сообщении #1650825 писал(а):

Для математики в целом совсем не существенно, что одни порядки "заданы явно", а другие не "заданы явно". Это просто неважно.

С точки зрения алгебры так и есть.
Просто мне хотелось бы сказать, примерно следующее:

С точки зрения физики - это разные системы.
В одной системе способ сравнить два элемента $a$ и $b$ не задан.
В другой системе такой способ есть $3 - 1 > 0$.
Поэтому чтобы вторая система была моделью первой предлагается дополнить первую систему способом сравнения.

Что здесь не так?

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650838 писал(а):

Что здесь не так?

Vasily2024 в сообщении #1650838 писал(а):

С точки зрения физики

Раздел форума писал(а):

Список форумов » Математика

Впрочем, я сомневаюсь что и в физике говорят "способ сравнить не задан".
Почему бы Вам не последовать совету Mikhail_K и не перестать пытаться выдумать смысл словам, которые не используются уже десятки лет? Их не используют не просто так, а как раз потому что поняли, что ничего хорошего из этого не выйдет.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650839 писал(а):

Почему бы Вам не последовать совету Mikhail_K и не перестать пытаться выдумать смысл словам,

Я полностью следую идеям

mihaild в сообщении #1650839 писал(а):

Mikhail_K

и ничего не выдумываю:
В алгебре любое множество можно задать, тем или иным способом, или считать, что множество задано некоторым (не указанным явно) способом.

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650953 писал(а):

В алгебре любое множество можно задать, тем или иным способом, или считать, что множество задано некоторым (не указанным явно) способом

Mikhail_K в сообщении #1650825 писал(а):

Для математики в целом совсем не существенно, что одни порядки "заданы явно", а другие не "заданы явно"

Тут есть существенное отличие.
У множества нет свойства "быть явно заданным". В некоторых случаях в рассуждениях по месту используется "что-то задано явно", но от случая к случаю это словосочетание имеет разное значение, и ни в каких строгих формулировках не используется.
Например, "упорядоченное множество - это пара (множество, порядок)". Иногда жаргонно говорят "на множестве задан порядок". Строго это означает "$A$ - некоторое отношение порядка на множестве, и везде ниже, где говорится о порядке на множестве, подразумевается $A$".
Задавать вопрос "явно или неявно задан порядок" в общем случае бессмысленно.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650959 писал(а):

В алгебре любое множество можно задать, тем или иным способом, или считать, что множество задано некоторым (не указанным явно) способом.

А где ошибка?

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650970 писал(а):

А где ошибка?

В авторстве цитаты.

А ещё в том, что я писал выше - нет формального понятия "множество можно задать".

[skobar]

Вставлю свои 5 копеек:

Vasily2024:
На мой взгляд, ваше непонимание идет от того, что вы просто не знаете определение вещественных чисел. Оно не простое и не очевидное. Ключевой факт заключается в следующем:

Определение вещественных чисел включает в себя порядок. Вещественные числа определяются вместе с некоторым порядком, который является неотъемлемой частью определения, этот порядок и называется "естественным". Не существует отдельно определения вещественных чисел без определения порядка.

Сделайте паузу, перечитайте, и попробуйте осознать вышеприведенный факт. И mihaild, и другие уже вам это писали, но вы как-то его восприняли.

То-есть ответ на ваш вопрос, что такое "естественный порядок" следующий: "естественный порядок" на множестве вещественных чисел - это тот порядок который является частью определения вещественных чисел.

[drzewo]

(Оффтоп)

skobar в сообщении #1650972 писал(а):

Определение вещественных чисел включает в себя порядок.

и текст, с подробным рассмотрением данной конструкции был назван сразу. Но увы:

drzewo в сообщении #1647486 писал(а):

У людей, занимающихся самообразованием, иногда складывается совершенно иное представление о предмете в целом. Изнутри этого представления они задают частные вопросы и ожидают получить ответ в той же парадигме, в которой находятся сами.
С какой стати надо играть по их правилам, мне непонятно.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650971 писал(а):

нет формального понятия "множество можно задать".

Основными неопределяемыми понятиями теории множеств являются понятие множества и понятие быть элементом множества.
Существуют два основных способа задания множеств: перечислением элементов и их описанием.