Определение естественного порядка

[Vasily2024]

Что означает термин "естественный порядок" на множестве действительных чисел?

-- 17.08.2024, 08:29 --

[Mihr]

Обычное (известное из школы) отношение "меньше".

[Vasily2024]

Mihr в сообщении #1650394 писал(а):

Обычное (известное из школы) отношение "меньше".

Спасибо за ответ, но я ищу строгое алгебраическое определение. Например:

Порядок является естественным если он определен конструктивно в группе $(A, +,>0)$

[dgwuqtj]

Так вам уже ответили, формально будет так: бинарное отношение $R$ на множестве $\mathbb R$ называется естественным порядком, если $\forall x, y \in \mathbb R \enskip (x, y) \in R \Leftrightarrow x \leq y$.

[drzewo]

Vasily2024 в сообщении #1650390 писал(а):

Что означает термин "естественный порядок" на множестве действительных чисел?

Krantz: Real Analysis and Foundations

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650395 писал(а):

Спасибо за ответ, но я ищу строгое алгебраическое определение

На mathworld определения нет, значит широко распространенного такого определения нет. Возможно в каких-то отдельных областях есть.
Где Вы увидели этот термин?

[Vasily2024]

Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. – 1965.
Теорема Гельдера

-- 18.08.2024, 17:01 --

dgwuqtj в сообщении #1650414 писал(а):

Так вам уже ответили, формально будет так: бинарное отношение $R$ на множестве $\mathbb R$ называется естественным порядком, если $\forall x, y \in \mathbb R \enskip (x, y) \in R \Leftrightarrow x \leq y$.

Тогда непонятно, что означает обозначение $x \leq y$. Ведь порядка еще нет.

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650598 писал(а):

Тогда непонятно, что означает, обозначение $x \leq y$. Ведь порядка еще нет

Вещественные числа уже есть, и на них порядок есть. Судя по доказательству, к этому моменту уже известна конструкция вещественных чисел через сечения.
Т.е. там не нужен "естественный порядок на произвольном поле", там речь именно о стандартном порядке на вещественных числах.

[Vasily2024]

Это означает, что существование системы $(R, <)$ c естественным порядком
предполает существование, например, группы $(R, +,>0)$ в которой порядок определен конструктивно?

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650613 писал(а):

предполает существование, например, группы $(R, +,>0)$ в которой порядок определен конструктивно

Непонятно, что это значит.
В теореме выше идет речь о конкретной группе $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, <_{\mathbb R})$.

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650615 писал(а):

В теореме выше идет речь о конкретной группе $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, <_{\mathbb R})$.

Просто меня спросили - где такой термин встречается и я привел пример теоремы Гельдера.

Но, например Пфанцангель, говорит о системе $(R, >)$ c естественным порядком. Мне кажется, что это не верно и вот почему:

Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел $R$ задано
отношение порядка. Например, $a > b$ если $a - b>0$.
Так как система $(R, >)$ не содержит алгебраических операций, то система $(R, >)$ определена некорректно.

[dgwuqtj]

Vasily2024 в сообщении #1650660 писал(а):

Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел $R$ задано
отношение порядка. Например, $a > b$ если $a - b>0$.

Вы так пишете, как будто в математике все объекты должны быть конструктивными и где-то внутри себя хранить свои явные конструкции через ранее определённые объекты. Это не так. Например, почти все вещественные числа определить явно нельзя.

Линейный порядок $>$ внутри себя не хранит никаких знаний про свою конструкцию, это просто бинарное отношение (формально в рамках теории множеств - подмножество $\mathbb R \times \mathbb R$). Как именно это порядок был построен, значения не имеет. К тому же для конструкции самих чисел через дедекиндовы сечения легко явно построить порядок вообще без использования арифметических операций.

[mihaild]

Vasily2024 в сообщении #1650660 писал(а):

Но, например Пфанцангель, говорит о системе $(R, >)$ c естественным порядком

Вопрос опять же в контексте.
В теории категорий есть какое-то понятие "естественности" (я о нем ничего, кроме существования, не знаю, но тут есть специалисты). В других контекстах, "естественный" или "стандартный" порядок на $\mathbb R$ (кстати $R$ и $\mathbb R$ - это разные обозначения) - это один конкретный порядок. Если где-то говорится о "естественном порядке" не другой структуре - укажите контекст.
(и желательно ссылку на книгу давать с указанием страницы)

[Vasily2024]

mihaild в сообщении #1650667 писал(а):

Линейный порядок $>$ внутри себя не хранит никаких знаний про свою конструкцию, это просто бинарное отношение

Хорошо.

Тогда можно сказать хотя бы так:

Система $(A,<)$ отличается от системы $(R,<)$ тем, что в системе $(A,<)$
способ сравнения элементов не задан в явном виде (отношение порядка определено, но не задано явно)?

[dgwuqtj]

Vasily2024 в сообщении #1650802 писал(а):

Система $(A,<)$ отличается от системы $(R,<)$ тем, что в системе $(A,<)$
способ сравнения элементов не задан в явном виде

Нельзя. Они либо равны как пары множеств, либо не равны. У вас может вообще не быть на руках никакого определения.