Намагниченый шар на плоскости

[amon]

drzewo в сообщении #1650841 писал(а):

Вот теперь у меня вопрос по физике. Это так и должно быть, что зараженый шарик если катнуть в одну сторону то он покатится по прямой, а если катнуть в прямо противоположную, то он гулять начнет по плоскости странным обрзом?

Шар у нас намагниченный. $\mathbf{d}$ - это его дипольный магнитный момент. Устойчивое положение $\omega=0,\,d\parallel B$ соответствует тому, что шар работает как магнитная стрелка - стоит на месте и показывает, куда направлено магнитное поле.
Второе положение равновесия

$$\boldsymbol\omega=\frac{b\boldsymbol B}{(A\boldsymbol B,\boldsymbol B)},\quad \boldsymbol d=\frac{d\boldsymbol B}{|\boldsymbol B|}$$

соответствует тому, что дипольный момент стоит вдоль поля и не вращается. В зависимости от того, куда будет направлен момент сил при малом отклонении это положение либо устойчиво, либо неустойчиво как и у магнитной стрелки в зависимости от того, стоит она по полю или против поля. Так что, пока все вроде соответствует физической интуиции. Магнитное поле почти везде направлено под углом к поверхности земли. Второе устойчивое положение, как я понимаю, соответствует тому, что шар катится, одновременно вращаясь вокруг своей оси так, чтобы магнитный момент все время стоял по полю.
drzewo, спасибо! Я бы, наверно, не справился.

[wrest]

amon в сообщении #1650848 писал(а):

Второе устойчивое положение, как я понимаю, соответствует тому, что шар катится, одновременно вращаясь вокруг своей оси так, чтобы магнитный момент все время стоял по полю.

Без проскальзывания, это возможно только если поле горизонтально, да?
То есть вне экватора (и где ещё горизонтальное поле есть), шарик не будет катиться равномерно-прямолинейно нигде?

[amon]

wrest в сообщении #1650863 писал(а):

Без проскальзывания, это возможно только если поле горизонтально, да?

Как я понимаю -нет. Шарики умеют кататься одновременно вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости, по которой они катятся. В этом случае вектор угловой скорости смотрит куда угодно.

-- 20.08.2024, 17:52 --

Возникает забавная задачка. Как надо щелкнуть по шарику чтобы он покатился по прямой. Как я понимаю, важна не только точка удара, но и его сила. Правда, можно слегка ошибиться - движение устойчиво.

[wrest]

amon в сообщении #1650864 писал(а):

Шарики умеют кататься одновременно вращаясь вокруг оси, перпендикулярной плоскости, по которой они катятся.

Очень загадочное утверждение...

[amon]

wrest в сообщении #1650867 писал(а):

Очень загадочное утверждение...

Вы в бильярд когда-нибудь играли? Как ведет себя шарик, если ударить, скажем, левее центра?

[wrest]

amon в сообщении #1650868 писал(а):

Вы в бильярд когда-нибудь играли? Как ведет себя шарик, если ударить, скажем, левее центра?

Играли, но он явно не "без проскальзывания".
Как я понимаю, вы говорите о "качении с верчением", но вот может ли быть "качение с верчением но без проскальзывания" -- Интернет от меня скрывает.

Вокруг вертикальной оси вращаться шарик конечно может (в жизни), можно ли назвать это "без проскальзывания" -- не знаю, но допускаю что можно (касание там всего-то в точке которая не двигаетcя по плоскости). Есть и тема об этом (в том числе) но там к общему знаменателю не пришли «Качение шара по плоскости»
Но вы-то предлагаете, как мне кажется, нечто совершенно другое. Шар как-бы катится на боку (чтобы это ни значило для шара ) но при этом ось вращения не меняет ориентации?

[Geen]

amon в сообщении #1650868 писал(а):

Вы в бильярд когда-нибудь играли?

В бильярд без проскальзывания?...

Но вообще, это вопрос - а может ли шарик вращаться вокруг вертикальной оси, если нет проскальзывания?

[amon]

Geen в сообщении #1650871 писал(а):

Но вообще, это вопрос - а может ли шарик вращаться вокруг вертикальной оси, если нет проскальзывания?

На сколько я помню, это называется качение с верчением.

Geen в сообщении #1650871 писал(а):

В бильярд без проскальзывания?...

При некоторых ударах шар почти сразу катится без проскальзывания. А вообще, про катящийся по плоскости шар до сих пор диссертации защищают.

[Theoristos]

Ну чего, вполне себе задачка.

drzewo, пару вопросов и мыслей вслух:

drzewo в сообщении #1650798 писал(а):

Устойчивое положение равновесия -- условный минимум $H$ (теорема Рауса): ...

Ну, дипольный момент направлен по $\mathbf{B}$ - минимум энергии, момента от магнитного взаимодействия нет, угловая скорость $\mathbf{\omega}$ сонаправлена дипольному, и его ориентацию не меняет, так что вроде всё логично.
Но почему значение модуля $\mathbf{\omega}$ не произвольно, а чётко задано, да ещё и имеет квадрат напряжённости поля в знаменателе? У нас просто по размерностям всё в порядке?

drzewo в сообщении #1650798 писал(а):

Второе положение равновесия:

drzewo в сообщении #1650798 писал(а):

Второе положение равновесия кажется неустойчиво.

$\mathbf{d}$ противополножно $\mathbf{B}$ - максимум потенциальной энергии, так что в статике точно неустойчивое равновесие.
Единственное - гироскопические силs при вращении. Если шарик вращается вдоль той же оси очень быстро, то при малом возмущении от равновесия они должны препятствовать уходу, превращая движение в некую прецессию вокруг невозмущённой оси.

drzewo в сообщении #1650841 писал(а):

Вот теперь у меня вопрос по физике. Это так и должно быть, что зараженый шарик если катнуть в одну сторону то он покатится по прямой, а если катнуть в прямо противоположную, то он гулять начнет по плоскости странным обрзом?

По идее для этой задачи - нет. Уравнения движения в этом смысле симметричны.
А откуда взялся такой вопрос?

----------------

wrest в сообщении #1650863 писал(а):

Без проскальзывания, это возможно только если поле горизонтально, да?

Вот, кстати - нет )

Для меня в первый момент идея о том, что $\mathbf{\omega}$ катящегося шарика может иметь любое направление была контринтуитивна, но так как доп. требования на отсутствие прокрутки - нулевого значения нормальной компоненты $\mathbf{\omega}$ нет, то с произвольностью омеги всё в порядке - шарик будет равномерно катиться (две компоненты омени) и равномерно поворачиваться вокруг вертикальной плоскости (третья), так что вектор $\mathbf{d}$ будет сохранять свою ориентацию.

Трение в точке касания эту благодать, конечно, со временем должно портить.

-- Вт авг 20, 2024 17:57:30 --

Ещё для меня необычно было использование $\mathbf{d}$ в качестве координатной переменной, вместо каких пошлых эйлеровых углов. Оно по сути своей вроде как для этого не совсем пригодно.
Но раз уж сами углы из наших уравнений динамики выпали, что пошло им на пользу, и $\mathbf{d}^2= \operatorname{const}$, то и ладно.

[Geen]

amon в сообщении #1650872 писал(а):

На сколько я помню, это называется качение с верчением.

Если проскальзывания нет, а шар вращается вокруг вертикальной оси, значит "пятно контакта" это точка, а значит и стол и шар абсолютно твёрдые... но это некорректная задача, насколько я теормех помню.

[drzewo]

Geen в сообщении #1650880 писал(а):

... но это некорректная задача,

в каком смысле?

[amon]

amon в сообщении #1650864 писал(а):

Возникает забавная задачка. Как надо щелкнуть по шарику чтобы он покатился по прямой.

$$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2cm); \draw [->] (0,-2) -- (0,0); \draw (0,0) node[anchor=east]{$n$}; \draw[->] (0,0) -- (45:3)node[anchor=west]{$B$}; \draw[->] (0,0) -- (-45:0.33)node[anchor=west]{$\text{бить куда-то сюда}$}; \end{tikzpicture}$$

Силу удара подобрать экспериментально

[Geen]

drzewo в сообщении #1650881 писал(а):

Geen в сообщении #1650880 писал(а):

... но это некорректная задача,

в каком смысле?

Уравнений не хватает, насколько я помню.

[drzewo]

Geen в сообщении #1650895 писал(а):

Уравнений не хватает, насколько я помню.

Хватает. Задачи механики систем с идеальными связями корректны: существование, единственность, непрерывная зависимость от начальных данных -- все на месте.

[drzewo]

Theoristos в сообщении #1650876 писал(а):

Но почему значение модуля $\mathbf{\omega}$ не произвольно, а чётко задано,

не задано, а выражено через константы первых интегралов

Theoristos в сообщении #1650876 писал(а):

А откуда взялся такой вопрос?

оттуда, что движение, начавшееся в окрестности неустойчивого стационарного качения будет выглядеть именно так

-- 08.09.2024, 16:45 --

Theoristos в сообщении #1650876 писал(а):

Уравнения движения в этом смысле симметричны.

нет, замените $\omega\mapsto-\omega$