Задачки по алгебре из Винберга

[Without Name]

Здравствуйте. Я хочу решить задачку из учебника Винберга. Вот ее условие:

Доказать, что подмножество $L$ поля $K$ является подполем тогда и только тогда, когда
1) $L$ замкнуто относительно вычитания и деления.
2) $L$ содержит 0 и 1

Так как у нас имеется связка "тогда и только тогда", то доказываем утверждение в две стороны.

1) Если $L$ - подполе, тогда выполняется 1) и 2)
2) Если выполняется 1) и 2), тогда $L$ - подполе.

Докажем "туда" (пункт первый). Пусть $L$ - подполе $K$. Рассмотрим $a, b \in L$: $a + (-b) = a - b \in L$, следовательно, разность замкнута ($-b \in L$, т.к. $L$ - абелева группа по сложению). Пусть $a, b \in L$: $a\cdot {b}^{-1}=\frac{a}{b} \in L$, следовательно, деление замкнуто.
$L$ содержит 0, так как является абелевой группой по сложению (по определению подполя). $L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Скажите, пожалуйста, я правильно доказал утверждение в одну сторону? Как доказать его в обратную сторону?

[dgwuqtj]

Without Name в сообщении #1650723 писал(а):

$L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Тут важно использовать что $L$ содержит какой-то ненулевой элемент.

А чтобы доказывать в обратную сторону, попробуйте как-то выразить сложение и умножение через вычитание и деление (ну и константы 0, 1).

[Without Name]

dgwuqtj в сообщении #1650725 писал(а):

Without Name в сообщении #1650723 писал(а):

$L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Тут важно использовать что $L$ содержит какой-то ненулевой элемент.

А чтобы доказывать в обратную сторону, попробуйте как-то выразить сложение и умножение через вычитание и деление (ну и константы 0, 1).

Выразить сложение через вычитание как $a + b = a + (-b)$? А что это даст? Я запутался

[dgwuqtj]

Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.

[Without Name]

dgwuqtj в сообщении #1650735 писал(а):

Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.

Что-то типа этого? $a+b = a - (0 - 1 - 1 - ... - 1)$, где вычитание выполняется $b$ раз?
И если удастся доказать, что в $L$ можно определить операции сложения и умножения, а также, что $L$ вместе с любым элементом $a$ содержит обратный к нему, то по определению подполя это будет подполе? Так?

[dgwuqtj]

Without Name в сообщении #1650737 писал(а):

$a+b = a - (0 - 1 - 1 - ... - 1)$, где вычитание выполняется $b$ раз?

Нет, тождество — это строка фиксированной длины, без многоточий. Единицу там использовать не обязательно. Ну и никто не обещал, что $b$ будет натуральным числом, это может быть вообще формальный степенной ряд Лорана над конечным полем типа $t^{-1} + \overline 4 t + \overline 4 t^{10} + \overline 4 t^{100} + \ldots \in \mathbb F_5((t))$. Природа элементов поля тут роли не играет.

Without Name в сообщении #1650737 писал(а):

И если удастся доказать, что в $L$ можно определить операции сложения и умножения, а также, что $L$ вместе с любым элементом $a$ содержит обратный к нему, то по определению подполя это будет подполе? Так?

Я не знаю, каким именно определением подполя вы пользуетесь, но вы явно написали недостаточно условий (надо ещё что-то про умножение). Если со сложением трудновато, можно сначала показать, что из $x \in L$ следует $-x \in L$.

[Without Name]

Цитата:

Я не знаю, каким именно определением подполя вы пользуетесь, но вы явно написали недостаточно условий (надо ещё что-то про умножение). Если со сложением трудновато, можно сначала показать, что из $x \in L$ следует $-x \in L$

Пользуюсь вот этим определением поля из Винберга: полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим.

И определением подполя оттуда же: подмножество $L$ поля $K$ называется подполем, если
1) $L$ является подкольцом кольца $K$
2) $a \in L, a \ne 0\Rightarrow {a}^{-1} \in L$
3) $1 \in L$

Что-то как-то сложно для задачи начального уровня. В универе мы чисто механически строили всякие конечные поля и делали вычисления, а это намного легче, чем при доказательстве увязать вместе аксиомы, еще и в правильном порядке, чтобы сделать верный вывод.

[dgwuqtj]

С точки зрения алгебры странно требовать, чтобы сами кольца не могли состоять только из нулевого элемента, но для полей сойдёт. Там обязательно $1 \neq 0$. Вы можете просто написать все возможные выражения из букв $a, b$, нуля, вычитания и скобок, а потом проверить, какие из них упрощаются в $a + b$ и в $-a$. Конечно, выражений бесконечно много, но нужное будет где-то в начале. Список примерно такой: $0$, $a$, $b$, $0 - a$, $0 - b$, $a - 0$, $b - 0$, $0 - 0$, $a - a$, $b - b$, $a - b$, $b - a$, $(0 - 0) - 0$, $0 - (0 - 0)$, ...

Заодно так получится другое полезное утверждение: подмножество $X$ в абелевой группе $A$ является подгруппой тогда и только тогда, когда оно содержит 0 и замкнуто относительно вычитания. Это если вы слышали про абелевы группы.

[Without Name]

dgwuqtj в сообщении #1650735 писал(а):

Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.

Тогда получается что-то типа такого? $a+b = a - (0 - b)$

[dgwuqtj]

Да. И теперь видно, что если $a, b \in L$, то $0 - b \in L$ и $a - (0 - b) \in L$, что и требовалось. Аналогично проверяйте, что $L$ замкнуто относительно умножения и взятия обратного.

[Without Name]

А ряд Лорана может быть над конечным полем? Это же комплексный ряд. Хотя есть эллиптические кривые над конечным полем, можно определить формальную производную над конечным полем. Может, и ряд Лорана можно определить.

[dgwuqtj]

Ряд Лорана в комплексном анализе — это такой ряд, который к тому же сходится в какой-то области. Но над любым кольцом можно рассматривать формальные степенные ряды, где никакой сходимости не требуется (например, в комбинаторике популярны производящие функции, это обычно формальные степенные ряды над $\mathbb Z$). И над полями осмысленны формальные степенные ряды Лорана, чисто синтаксические выражения вида $a_{-N} t^{-N} + a_{1 - N} t^{1 - N} + \ldots + a_0 + a_1 t + \ldots$ с коэффициентами $a_i$. Они сами образуют поле. С теми же производящими функциями обычно работают внутри поля формальных рядов Лорана $\mathbb C((t))$, потому что сходимость не всегда требуется и не всегда вообще есть.

Производные многочленов и формальных степенных рядов можно определить над любым коммутативным кольцом (даже нулевым, только там неинтересно). Эллиптические кривые — это уже алгебраическая геометрия, а не алгебра, их тоже иногда изучают над коммутативными кольцами.

[Without Name]

Получается, что $a \cdot b = a : \frac{1}{b} \in L$
Таким образом, мы определили в $L$ замкнутые операции сложения и умножения, поэтому $L$ - кольцо. Каждый элемент из $L$ имеет обратный и единица находится в $L$ по условию. Следовательно, выполняются все аксиомы подполя, поэтому $L$ - подполе. Так?

[dgwuqtj]

Да, теперь всё верно.

[Without Name]

А как решить следующую задачу? "Доказать, что поле $Q$ не имеет нетривиальных (т.е. отличных от него самого) подполей".
Я хочу доказать это утверждение по определению подполя, вот оно: подмножество $L$ поля $K$ называется подполем, если
1) $L$ является подкольцом кольца $K$
2) $a \in L, a \ne 0 \Rightarrow {a}^{-1}\in L$
3) $1 \in L$

Пусть $K\in Q$ - подполе. Оно состоит из элементов вида $\frac{p}{q}, p, q \in Z$. Обратным к этому элементу будет $\frac{q}{p}$, по этой причине $1\in K$ как произведение обратных элементов. Выполнены два пункта из определения подполя. Остается доказать, что $K$ не является подкольцом. А как это сделать? Доказать, что операция умножения в $K$ не замкнута?