2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 19:32 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Здравствуйте. Я хочу решить задачку из учебника Винберга. Вот ее условие:

Доказать, что подмножество $L$ поля $K$ является подполем тогда и только тогда, когда
1) $L$ замкнуто относительно вычитания и деления.
2) $L$ содержит 0 и 1

Так как у нас имеется связка "тогда и только тогда", то доказываем утверждение в две стороны.

1) Если $L$ - подполе, тогда выполняется 1) и 2)
2) Если выполняется 1) и 2), тогда $L$ - подполе.

Докажем "туда" (пункт первый). Пусть $L$ - подполе $K$. Рассмотрим $a, b \in L$: $a + (-b) = a - b \in L$, следовательно, разность замкнута ($-b \in L$, т.к. $L$ - абелева группа по сложению). Пусть $a, b \in L$: $a\cdot {b}^{-1}=\frac{a}{b} \in L$, следовательно, деление замкнуто.
$L$ содержит 0, так как является абелевой группой по сложению (по определению подполя). $L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Скажите, пожалуйста, я правильно доказал утверждение в одну сторону? Как доказать его в обратную сторону?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 19:39 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Without Name в сообщении #1650723 писал(а):
$L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Тут важно использовать что $L$ содержит какой-то ненулевой элемент.

А чтобы доказывать в обратную сторону, попробуйте как-то выразить сложение и умножение через вычитание и деление (ну и константы 0, 1).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 20:28 
Аватара пользователя


03/01/23
73
dgwuqtj в сообщении #1650725 писал(а):
Without Name в сообщении #1650723 писал(а):
$L$ содержит 1, т.к. $\forall a \in L:\frac{a}{a}=1 \in L$

Тут важно использовать что $L$ содержит какой-то ненулевой элемент.

А чтобы доказывать в обратную сторону, попробуйте как-то выразить сложение и умножение через вычитание и деление (ну и константы 0, 1).


Выразить сложение через вычитание как $a + b = a + (-b)$? А что это даст? Я запутался

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 20:34 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 20:40 
Аватара пользователя


03/01/23
73
dgwuqtj в сообщении #1650735 писал(а):
Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.


Что-то типа этого? $a+b = a - (0 - 1 - 1 - ... - 1)$, где вычитание выполняется $b$ раз?
И если удастся доказать, что в $L$ можно определить операции сложения и умножения, а также, что $L$ вместе с любым элементом $a$ содержит обратный к нему, то по определению подполя это будет подполе? Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 20:47 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Without Name в сообщении #1650737 писал(а):
$a+b = a - (0 - 1 - 1 - ... - 1)$, где вычитание выполняется $b$ раз?

Нет, тождество — это строка фиксированной длины, без многоточий. Единицу там использовать не обязательно. Ну и никто не обещал, что $b$ будет натуральным числом, это может быть вообще формальный степенной ряд Лорана над конечным полем типа $t^{-1} + \overline 4 t + \overline 4 t^{10} + \overline 4 t^{100} + \ldots \in \mathbb F_5((t))$. Природа элементов поля тут роли не играет.

Without Name в сообщении #1650737 писал(а):
И если удастся доказать, что в $L$ можно определить операции сложения и умножения, а также, что $L$ вместе с любым элементом $a$ содержит обратный к нему, то по определению подполя это будет подполе? Так?

Я не знаю, каким именно определением подполя вы пользуетесь, но вы явно написали недостаточно условий (надо ещё что-то про умножение). Если со сложением трудновато, можно сначала показать, что из $x \in L$ следует $-x \in L$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 20:56 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Цитата:
Я не знаю, каким именно определением подполя вы пользуетесь, но вы явно написали недостаточно условий (надо ещё что-то про умножение). Если со сложением трудновато, можно сначала показать, что из $x \in L$ следует $-x \in L$


Пользуюсь вот этим определением поля из Винберга: полем называется коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим.

И определением подполя оттуда же: подмножество $L$ поля $K$ называется подполем, если
1) $L$ является подкольцом кольца $K$
2) $a \in L, a \ne 0\Rightarrow {a}^{-1} \in L$
3) $1 \in L$

Что-то как-то сложно для задачи начального уровня. В универе мы чисто механически строили всякие конечные поля и делали вычисления, а это намного легче, чем при доказательстве увязать вместе аксиомы, еще и в правильном порядке, чтобы сделать верный вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:00 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
С точки зрения алгебры странно требовать, чтобы сами кольца не могли состоять только из нулевого элемента, но для полей сойдёт. Там обязательно $1 \neq 0$. Вы можете просто написать все возможные выражения из букв $a, b$, нуля, вычитания и скобок, а потом проверить, какие из них упрощаются в $a + b$ и в $-a$. Конечно, выражений бесконечно много, но нужное будет где-то в начале. Список примерно такой: $0$, $a$, $b$, $0 - a$, $0 - b$, $a - 0$, $b - 0$, $0 - 0$, $a - a$, $b - b$, $a - b$, $b - a$, $(0 - 0) - 0$, $0 - (0 - 0)$, ...

Заодно так получится другое полезное утверждение: подмножество $X$ в абелевой группе $A$ является подгруппой тогда и только тогда, когда оно содержит 0 и замкнуто относительно вычитания. Это если вы слышали про абелевы группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:09 
Аватара пользователя


03/01/23
73
dgwuqtj в сообщении #1650735 писал(а):
Нет, вам нужно тождество, где с одной стороны $a + b$, а с другой вообще нет сложения, только вычитание, переменные и нули.

Тогда получается что-то типа такого? $a+b = a - (0 - b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:11 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Да. И теперь видно, что если $a, b \in L$, то $0 - b \in L$ и $a - (0 - b) \in L$, что и требовалось. Аналогично проверяйте, что $L$ замкнуто относительно умножения и взятия обратного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:11 
Аватара пользователя


03/01/23
73
А ряд Лорана может быть над конечным полем? Это же комплексный ряд. Хотя есть эллиптические кривые над конечным полем, можно определить формальную производную над конечным полем. Может, и ряд Лорана можно определить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Ряд Лорана в комплексном анализе — это такой ряд, который к тому же сходится в какой-то области. Но над любым кольцом можно рассматривать формальные степенные ряды, где никакой сходимости не требуется (например, в комбинаторике популярны производящие функции, это обычно формальные степенные ряды над $\mathbb Z$). И над полями осмысленны формальные степенные ряды Лорана, чисто синтаксические выражения вида $a_{-N} t^{-N} + a_{1 - N} t^{1 - N} + \ldots + a_0 + a_1 t + \ldots$ с коэффициентами $a_i$. Они сами образуют поле. С теми же производящими функциями обычно работают внутри поля формальных рядов Лорана $\mathbb C((t))$, потому что сходимость не всегда требуется и не всегда вообще есть.

Производные многочленов и формальных степенных рядов можно определить над любым коммутативным кольцом (даже нулевым, только там неинтересно). Эллиптические кривые — это уже алгебраическая геометрия, а не алгебра, их тоже иногда изучают над коммутативными кольцами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:27 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Получается, что $a \cdot b = a : \frac{1}{b} \in L$
Таким образом, мы определили в $L$ замкнутые операции сложения и умножения, поэтому $L$ - кольцо. Каждый элемент из $L$ имеет обратный и единица находится в $L$ по условию. Следовательно, выполняются все аксиомы подполя, поэтому $L$ - подполе. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение19.08.2024, 21:29 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Да, теперь всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение20.08.2024, 22:17 
Аватара пользователя


03/01/23
73
А как решить следующую задачу? "Доказать, что поле $Q$ не имеет нетривиальных (т.е. отличных от него самого) подполей".
Я хочу доказать это утверждение по определению подполя, вот оно: подмножество $L$ поля $K$ называется подполем, если
1) $L$ является подкольцом кольца $K$
2) $a \in L, a \ne 0 \Rightarrow {a}^{-1}\in L$
3) $1 \in L$

Пусть $K\in Q$ - подполе. Оно состоит из элементов вида $\frac{p}{q}, p, q \in Z$. Обратным к этому элементу будет $\frac{q}{p}$, по этой причине $1\in K$ как произведение обратных элементов. Выполнены два пункта из определения подполя. Остается доказать, что $K$ не является подкольцом. А как это сделать? Доказать, что операция умножения в $K$ не замкнута?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group