Здравствуйте. Я хочу решить задачку из учебника Винберга. Вот ее условие:
Доказать, что подмножество
поля
является подполем тогда и только тогда, когда
1)
замкнуто относительно вычитания и деления.
2)
содержит 0 и 1
Так как у нас имеется связка "тогда и только тогда", то доказываем утверждение в две стороны.
1) Если
- подполе, тогда выполняется 1) и 2)
2) Если выполняется 1) и 2), тогда
- подполе.
Докажем "туда" (пункт первый). Пусть
- подполе
. Рассмотрим
:
, следовательно, разность замкнута (
, т.к.
- абелева группа по сложению). Пусть
:
, следовательно, деление замкнуто.
содержит 0, так как является абелевой группой по сложению (по определению подполя).
содержит 1, т.к.
Скажите, пожалуйста, я правильно доказал утверждение в одну сторону? Как доказать его в обратную сторону?