Сохранение энергии в ОТО, гравитационные волны и черные дыры

[epros]

pppppppo_98 в сообщении #1650306 писал(а):

хоть на далекой хоть на бесконечно близкой - не превращается ... физическая размерность не та

Физическая размерность не имеет значения, ибо для удалённой на соответствующее расстояние окружности угловые секунды дуги означают то же самое, что метры её длины. В конце концов, если Вам так важна размерность, то вспомните, что это преобразование не затрагивает координату $r$, а поэтому преобразование $\varphi$ при фиксированном $r$ это то же самое, что преобразование $r \varphi$.

pppppppo_98 в сообщении #1650306 писал(а):

ибо иначе объем области будет зависеть от выбранной системы координат.

Элемент объёма не будет зависеть от выбранной системы координат только в том случае, если мы искусственно приведём его к скаляру с помощью эталонов, независимых от координат. Как поступать, если таких эталонов нет, очень хорошо описано в книжке Шредингера "Структура пространства-времени". Там вся первая часть посвящена многообразию не только без метрики, но и без связности. Вторая глава там как раз про объёмы, плотности и интегралы вторых по первым. На странице 26 там показано, что полностью антисимметричный четырежды ковариантный тензор ведёт себя при преобразованиях так же, как скалярная плотность. Так что выражение $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$, где $\mathbf{e}_{ijkl}$ - символы Леви-Чивиты (которые не тензор, потому что преобразуются не как тензор, а никак), преобразуется как скаляр (т.е. никак), а стало быть представляет собой тот инвариантный объём, который Вы так жаждете. Это и не удивительно, ибо присмотревшись повнимательнее к этому выражению, можно заметить, что оно представляет собой определитель, составленный из компонент векторов $dt^i$, $dx^j$, $dy^k$ и $dz^l$. И это всё притом, что речи ни о метрах, ни о секундах не было, а $i$, $j$, $k$ и $l$ - это индексы абстрактных координат (а символы $t$, $x$, $y$ и $z$ относятся к именам абстрактных векторов, проведённых в произвольных направлениях).

-- Пт авг 16, 2024 20:12:55 --

Добавлю, что количество крошек, находящихся внутри параллелепипеда, составленного из векторов $dt^i$, $dx^j$, $dy^k$ и $dz^l$, умноженное на $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$, тоже останется инвариантом.

[realeugene]

epros в сообщении #1649737 писал(а):

локальные расстояния между ними определяются радарным методом

Расстояния можно определять ещё и "улиточным методом". Пускаем улитку, которая ползёт очень медленно, но с постоянной скоростью, и когда она проползёт всю окружность, делим затраченное время на скорость. Так как поправка времени за оборот из-за несинхронизируемости времени на торе постоянна, а время путешествия улитки обратно пропорционально её скорости и стремится к бесконечности при стремлении скорости улитки к нулю, можно однозначно промерить бесконечно медленными улитками всю окружность. Это равносильно разрезанию тора и сшивке его заплаткой со скачком времени между краями. Если минимальное время путешествия вдоль тора велико по сравнению с этим скачком, мы его просто не заметим.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1650315 писал(а):

Элемент объёма не будет зависеть от выбранной системы координат только в том случае, если мы искусственно приведём его к скаляру с помощью эталонов, независимых от координат.

Покажите это с формулами. Мне не понятно что вы утверждаете. Вам уже не только я говорил что при изменении координат в форме объема вылазит детерминант... Это общеизвестное утверждение доказываемое на 2 курсе метана. Поэтому приводить его доказательства не буду , тем более что ниже вы приводите абсолютно антисиммеиричный тензор - дык вот если его свернуть с преобразованным координатами то и вылезет детерминант. Стало быть две формы ()хрен с ним с многомерным опустимся до одномерного пространства, разницы то никакой а писанины больше ) dx и и dx' задают разные меры ... Я это вам уже это раз 5 повторил. И какую из них выбрать верную?

epros в сообщении #1650315 писал(а):

Так что выражение $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$, где $\mathbf{e}_{ijkl}$ - символы Леви-Чивиты (которые не тензор, потому что преобразуются не как тензор, а никак), преобразуется как скаляр (т.е. никак),

Выкладку математическую приведите. Начните прямо с одномерного случая. Я вам его переведу . Вы утверждаете что форма dx - инвариантная мера на кривой и не зависит о выбора координат... А я вот репу почесал и говорую вам... Мне не нравятся координаты x... Хочу новые координаты $x =e^x'$... Теперь я вас послушал и получается dx=dx'

[epros]

pppppppo_98 в сообщении #1650456 писал(а):

Мне не понятно что вы утверждаете.

Указанную книжку Шредингера почитайте.

pppppppo_98 в сообщении #1650456 писал(а):

ниже вы приводите абсолютно антисиммеиричный тензор

$\mathbf{e}_{ijkl}$ - не тензор. Символы Леви-Чивиты, чтобы оставаться таковыми в любых координатах, должны преобразовываться либо как четыржды контравариантная тензорная плотность, либо как четырежды ковариантная тензорная антиплотность.

pppppppo_98 в сообщении #1650456 писал(а):

Вы утверждаете что форма dx - инвариантная мера на кривой

Форма не на кривой, а объёма. Внешние произведения $n$-ок векторов $dx^i dy^j \ldots$ приводятся к скалярной, ковекторной или $4-n$ раз ковариантной тензорной антиплотности посредством сворачивания с $\mathbf{e}_{ijkl}$, свёртка которой в свою очередь с $4-n$ раз контравариантной тензорной плотностью даёт скаляр, который можно свободно складывать независимо от того, в каких точках он определён.

Например, форма трёхмерной гиперповерхности в четырёхмерии - это натянутый на тройку векторов $dx^i$, $dy^j$ и $dz^k$ параллелепипед. Свёрткой внешнего произведения $dx^i dy^j dz^k$ с $\mathbf{e}_{ijkl}$ мы получаем ковекторную антиплотность $d\underline {V}_l$, по которой мы и интегрируем любую векторную плотность $d\mathbf{a}^l$, поток которой через данную гиперповерхность хотим посчитать.

[realeugene]

epros в сообщении #1650315 писал(а):

Так что выражение $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$, где $\mathbf{e}_{ijkl}$ - символы Леви-Чивиты (которые не тензор, потому что преобразуются не как тензор, а никак), преобразуется как скаляр (т.е. никак), а стало быть представляет собой тот инвариантный объём, который Вы так жаждете.

Э... А как вы опустили индексы у вашего Леви-Чивиты?

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1650476 писал(а):

Указанную книжку Шредингера почитайте.

В это раз обойдусь без чтива. Докажите мне прямо здесь на упрощённой задаче.

epros в сообщении #1650476 писал(а):

Символы Леви-Чивиты, чтобы оставаться таковыми в любых координатах, должны преобразовываться либо как четыржды контравариантная тензорная плотность, либо как четырежды ковариантная тензорная антиплотность.

Это замечание существенное но ничего не меняет в вопросе форм...

epros в сообщении #1650476 писал(а):

Форма не на кривой, а объёма.

Обьем в 1 мерном пространстве - это длина... Я упростил до самого минимума задачу... Если вам угодно можете вместо длины площадь рассмотреть ... Это вообще не принципиально... Ваше утверждение сводится к тому что в неметрическом 2 мерном пространстве есть форма $d\Omega=dx\wedge dy$... Теперь мы взяли другие координаты $x = x(x', y'), y=y(x', y')$ и наша форма которая с ваших слов инвариантная... стало быть станет $d\Omega=dx'\wedge dy'= dx\wedge dy$.. И ещё более конкретно(переходя от от абстрактных тензоров к грешной землице)... Считаем что у нас 2 мерное аффинное пространство в качестве модельного многообразия, неметрическое, на котором берём декартовы координаты декартовы координаты $(x,y)$ и полярные $(r, \varphi)$ и тогда с ваших слов $d\Omega=dx\wedge dy = dr \wedge d\varphi$.

-- Сб авг 17, 2024 18:48:37 --

realeugene в сообщении #1650482 писал(а):

Э... А как вы опустили индексы у вашего Леви-Чивиты?

С этим вообще проблем нет... Итак есть вектора на касательном многообразии которые мы обозначим $\partial_i$ , и сопряжённые им 1-формы $dx^i$ - линейные функционалу на этом касательном пространстве, такие что $dx^i(\partial_j)=d^i_j$... Эти формы образуют сами показательное пространство. Теперь рассмотрим тензорное произведение двух таких пространств -то есть пространства линейных 2-форм. Будем рассматривать только формы подпространство антисиммеиричныех 2-форм , то есть $\omega(u,v)=-omega(v,u) $. Понятно что в нем можно ввести базис обозначаемый $dx_i\wedge dx_j(u,v)=dx_i(u)dx_j(v)-dx_ji(u)dx_i(v)$, u, v - везде векторы из касательного пространства.... Аналогично можно рассмотреть 3-,4-.. etc формы , меняя знак минус на представление группы перестановок в циклической 2 группе и возводя -й1 в получившийся вычет... Везде стоят скаляру плюс и минус 1... Только вот это факт нисколько не приближает нас к форме объема , да ещё и в метрическом пространстве, да и ещё в контексте тензора энергии импульса... Ибо как видно форма объема вообще не такая как нам сообщает епрос... При чем он об этом знает, но включил разговор тролля

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

С этим вообще проблем нет...

Вопрос был к epros. В книжке Шредингера при замене координат численно сохраняется контравариантная антисимметричная плотность 4 ранга, а не ковариантная, как тут утверждалось.

[epros]

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

Обьем в 1 мерном пространстве - это длина... Я упростил до самого минимума задачу...

В одномерном пространстве нет символов Леви-Чивиты, там в качестве ковариантной векторной плотности придётся довольствоваться градиентами скаляров ("в качестве", потому что это даже не плотность). И да, градиент скаляра можно интегрировать, ибо его произведение на $dx$ является скаляром.

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

в неметрическом 2 мерном пространстве есть форма $d\Omega=dx\wedge dy$

В двумерном пространстве есть двумерные символы Леви-Чивиты. Эта форма запишется как $\mathbf{e}_{ij} dx^i dy^j$, что соответствует Вашему:

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

$dx_i\wedge dx_j(u,v)=dx_i(u)dx_j(v)-dx_ji(u)dx_i(v)$

(если убрать опечатки).
По способу преобразования это выражение - скалярная антиплотность (потому что символы Леви-Чивиты в данном случае являются дважды ковекторной антиплотностью). Превратить её в скаляр можно только умножив на скалярную плотность. Если пространство метрическое, то в качестве таковой может выступать $\sqrt{g}$, получившийся скаляр можно даже назвать "формой объёма". Но если метрики нет, то мы просто принимаем к сведению, что интегрировать по этой форме мы можем только скалярные плотности (не скаляры).

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

тогда с ваших слов $d\Omega=dx\wedge dy = dr \wedge d\varphi$

Я такого не говорил.

realeugene в сообщении #1650492 писал(а):

Вопрос был к epros

Вы уже разобрались с тем, что такое пространство Минковского и конечные количества (независимо от их дискретности или непрерывности)? Просто Вы достаточно свободно манипулируете гораздо более сложными понятиями, так что я пришёл к выводу, что Ваше "непонимание" в данном случае было троллингом. А кормить тролля я не хочу. Чтобы надеяться на успешное объяснение, я хотел бы приобрести уверенность в наличии у собеседника реальной мотивации к пониманию объясняемого.

[realeugene]

epros в сообщении #1650551 писал(а):

В одномерном пространстве нет символов Леви-Чивиты

Что-то мешает их существованию в одномерном пространстве? В одномерном пространстве нет разделения на правые и левые перестановки индексов. Как и самих перестановок индексов. И чему это мешает?

Вы иногда утверждаете очень странные для логика вещи.

Я, кстати, заглянул было в Википедию, чтобы освежить определение. Оказывается, существует два разных определения символов Леви-Чивиты, в том числе, как псевдотензора. Пишут, сам Леви-Чивита определил именно псевдотензор, и чаще используется определение символов как псевдотензоров. В неортонормированных базисах разница важна.

[epros]

В виде исключения разок отвечу.

realeugene в сообщении #1650560 писал(а):

Как и самих перестановок индексов. И чему это мешает?

Существованию ненулевых антисимметричных тензоров, например.

realeugene в сообщении #1650560 писал(а):

Оказывается, существует два разных определения символов Леви-Чивиты, в том числе, как псевдотензора.

Существует два разных определения символов Леви-Чивиты как псеводтензоров. Один - известная Вам четырежды контравариантная тензорная плотность $\mathbf{e}^{ijkl}$, другой - четырежды ковариантная тензорная антиплотность $\mathbf{e}_{ijkl}$. Вот такая свёртка между ними: $\mathbf{e}^{ijkl} \mathbf{e}_{ijkl}$, понятное дело, является скаляром, ибо равна 24.

[realeugene]

(pppppppo_98)

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

При чем он об этом знает, но включил разговор тролля

А знает ли? Троллинг - это когда пишутся в некотором смысле правильные вещи, но в форме, вводящей собеседника в заблуждение. А лажа - это просто лажа.

-- 18.08.2024, 13:20 --

epros в сообщении #1650562 писал(а):

Существует два разных определения символов Леви-Чивиты как псеводтензоров.

Нет, я писал про то, что существует их определение как нетензора с единичными коэффициентами и как тензора с неединичными (в неортонормированном базисе).

-- 18.08.2024, 13:22 --

epros в сообщении #1650562 писал(а):

Существованию ненулевых антисимметричных тензоров, например.

$\mathbf e ^0=\mathbf e _0=1$. При любой перестановке индексов эти символы преобразуются как нужно.

[Утундрий]

«ХРИН 04 Абсолютно антисимметричный псевдо-хитензор»

[dgwuqtj]

epros в сообщении #1650562 писал(а):

Существованию ненулевых антисимметричных тензоров, например.

Они же существуют. Если $V$ конечномерное векторное пространство, то речь идёт про элементы $\mathrm{Alt}^{\dim(V)}(V) \leq V^{\otimes \dim(V)}$. Это одномерное векторное пространство для любого $V$, там всегда есть что-то ненулевое. Если $V$ одномерное, то $\mathrm{Alt}^{\dim(V)}(V) = V^{\otimes 1} = V$ (обычные векторы), а если $V = 0$, то $\mathrm{Alt}^{\dim(V)}(V) = V^{\otimes 0} = \mathbb R$ (скаляры). Хотя, конечно, можно оставить $\mathrm{Alt}^{\dim(V)}(V)$ неопределённым при $\dim(V) \leq 1$.

[epros]

realeugene в сообщении #1650563 писал(а):

$\mathbf e ^0=\mathbf e _0=1$. При любой перестановке индексов эти символы преобразуются как нужно.

Мне нужно, чтобы любая перестановка двух разных индексов приводила к смене знака.

[realeugene]

pppppppo_98 в сообщении #1650489 писал(а):

и тогда с ваших слов $d\Omega=dx\wedge dy = dr \wedge d\varphi$.

Вот, самое главное. Дифференциальная форма - это линейный функционал, по определению. Чтобы как функционал она оставалась постоянным объектом, при замене её базисных векторов, которые сами формы, и которые при этом заменяются на другие формы, её нужно домножать на нечто непостоянное. Возвращаясь к физике, выраженный в кубометрах объём должен остаться тем же самым при замены единиц измерения высоты с километров на футы.

-- 18.08.2024, 13:57 --

epros в сообщении #1650568 писал(а):

Мне нужно, чтобы любая перестановка двух разных индексов приводила к смене знака.

Да, любая перестановка индексов и приводит к смене знака этих символов. (Не вы ли недавно рассказывали народу в математическом разделе про свойства импликации?)