хоть на далекой хоть на бесконечно близкой - не превращается ... физическая размерность не та
Физическая размерность не имеет значения, ибо для удалённой на соответствующее расстояние окружности угловые секунды дуги означают то же самое, что метры её длины. В конце концов, если Вам так важна размерность, то вспомните, что это преобразование не затрагивает координату
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
, а поэтому преобразование
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
при фиксированном
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
это то же самое, что преобразование
![$r \varphi$ $r \varphi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/5/1757c05cb35efa427ea37a11a53f895482.png)
.
ибо иначе объем области будет зависеть от выбранной системы координат.
Элемент объёма не будет зависеть от выбранной системы координат только в том случае, если мы искусственно приведём его к скаляру с помощью эталонов, независимых от координат. Как поступать, если таких эталонов нет, очень хорошо описано в книжке Шредингера "Структура пространства-времени". Там вся первая часть посвящена многообразию не только без метрики, но и без связности. Вторая глава там как раз про объёмы, плотности и интегралы вторых по первым. На странице 26 там показано, что полностью антисимметричный четырежды ковариантный тензор ведёт себя при преобразованиях так же, как скалярная плотность. Так что выражение
![$\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$ $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faa01429b64c77f88e15939b7652ef6e82.png)
, где
![$\mathbf{e}_{ijkl}$ $\mathbf{e}_{ijkl}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/b/17ba127b04a251703fa7fcdde6736a7f82.png)
- символы Леви-Чивиты (которые не тензор, потому что преобразуются не как тензор, а никак), преобразуется как скаляр (т.е. никак), а стало быть представляет собой тот инвариантный объём, который Вы так жаждете. Это и не удивительно, ибо присмотревшись повнимательнее к этому выражению, можно заметить, что оно представляет собой определитель, составленный из компонент векторов
![$dt^i$ $dt^i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/0/b80638fe52147b12de4d5f42b51b275782.png)
,
![$dx^j$ $dx^j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e91a919fa3cff706ef985ba86b3211c82.png)
,
![$dy^k$ $dy^k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/e/c1e49d368d698c25429245ae8474125582.png)
и
![$dz^l$ $dz^l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75ff977be3d195c6f98e0d76817506fa82.png)
. И это всё притом, что речи ни о метрах, ни о секундах не было, а
![$i$ $i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/a/77a3b857d53fb44e33b53e4c8b68351a82.png)
,
![$j$ $j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/b/36b5afebdba34564d884d347484ac0c782.png)
,
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
и
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
- это индексы абстрактных координат (а символы
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
и
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
относятся к именам абстрактных векторов, проведённых в произвольных направлениях).
-- Пт авг 16, 2024 20:12:55 --Добавлю, что количество крошек, находящихся внутри параллелепипеда, составленного из векторов
![$dt^i$ $dt^i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/0/b80638fe52147b12de4d5f42b51b275782.png)
,
![$dx^j$ $dx^j$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e91a919fa3cff706ef985ba86b3211c82.png)
,
![$dy^k$ $dy^k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/e/c1e49d368d698c25429245ae8474125582.png)
и
![$dz^l$ $dz^l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/f/75ff977be3d195c6f98e0d76817506fa82.png)
, умноженное на
![$\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$ $\mathbf{e}_{ijkl} dt^i dx^j dy^k dz^l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faa01429b64c77f88e15939b7652ef6e82.png)
, тоже останется инвариантом.