2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 08:23 


28/03/24
76
Что означает термин "естественный порядок" на множестве действительных чисел?

-- 17.08.2024, 08:29 --


 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
Обычное (известное из школы) отношение "меньше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 09:08 


28/03/24
76
Mihr в сообщении #1650394 писал(а):
Обычное (известное из школы) отношение "меньше".

Спасибо за ответ, но я ищу строгое алгебраическое определение. Например:

Порядок является естественным если он определен конструктивно в группе $(A, +,>0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 10:58 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Так вам уже ответили, формально будет так: бинарное отношение $R$ на множестве $\mathbb R$ называется естественным порядком, если $\forall x, y \in \mathbb R \enskip (x, y) \in R \Leftrightarrow x \leq y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 11:04 


21/12/16
721
Vasily2024 в сообщении #1650390 писал(а):
Что означает термин "естественный порядок" на множестве действительных чисел?

Krantz: Real Analysis and Foundations

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение17.08.2024, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Vasily2024 в сообщении #1650395 писал(а):
Спасибо за ответ, но я ищу строгое алгебраическое определение
На mathworld определения нет, значит широко распространенного такого определения нет. Возможно в каких-то отдельных областях есть.
Где Вы увидели этот термин?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение18.08.2024, 16:50 


28/03/24
76
Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. – 1965.
Теорема Гельдера

-- 18.08.2024, 17:01 --

dgwuqtj в сообщении #1650414 писал(а):
Так вам уже ответили, формально будет так: бинарное отношение $R$ на множестве $\mathbb R$ называется естественным порядком, если $\forall x, y \in \mathbb R \enskip (x, y) \in R \Leftrightarrow x \leq y$.


Тогда непонятно, что означает обозначение $x \leq y$. Ведь порядка еще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение18.08.2024, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Vasily2024 в сообщении #1650598 писал(а):
Тогда непонятно, что означает, обозначение $x \leq y$. Ведь порядка еще нет
Вещественные числа уже есть, и на них порядок есть. Судя по доказательству, к этому моменту уже известна конструкция вещественных чисел через сечения.
Т.е. там не нужен "естественный порядок на произвольном поле", там речь именно о стандартном порядке на вещественных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение18.08.2024, 18:42 


28/03/24
76
Это означает, что существование системы $(R, <)$ c естественным порядком
предполает существование, например, группы $(R, +,>0)$ в которой порядок определен конструктивно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение18.08.2024, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Vasily2024 в сообщении #1650613 писал(а):
предполает существование, например, группы $(R, +,>0)$ в которой порядок определен конструктивно
Непонятно, что это значит.
В теореме выше идет речь о конкретной группе $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, <_{\mathbb R})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение19.08.2024, 10:24 


28/03/24
76
mihaild в сообщении #1650615 писал(а):
В теореме выше идет речь о конкретной группе $(\mathbb R, +_{\mathbb R}, <_{\mathbb R})$.

Просто меня спросили - где такой термин встречается и я привел пример теоремы Гельдера.

Но, например Пфанцангель, говорит о системе $(R, >)$ c естественным порядком. Мне кажется, что это не верно и вот почему:

Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел $R$ задано
отношение порядка. Например, $a > b$ если $a - b>0$.
Так как система $(R, >)$ не содержит алгебраических операций, то система $(R, >)$ определена некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение19.08.2024, 10:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Vasily2024 в сообщении #1650660 писал(а):
Естественный порядок предполагает, что на множестве действительных чисел $R$ задано
отношение порядка. Например, $a > b$ если $a - b>0$.

Вы так пишете, как будто в математике все объекты должны быть конструктивными и где-то внутри себя хранить свои явные конструкции через ранее определённые объекты. Это не так. Например, почти все вещественные числа определить явно нельзя.

Линейный порядок $>$ внутри себя не хранит никаких знаний про свою конструкцию, это просто бинарное отношение (формально в рамках теории множеств - подмножество $\mathbb R \times \mathbb R$). Как именно это порядок был построен, значения не имеет. К тому же для конструкции самих чисел через дедекиндовы сечения легко явно построить порядок вообще без использования арифметических операций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение19.08.2024, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Vasily2024 в сообщении #1650660 писал(а):
Но, например Пфанцангель, говорит о системе $(R, >)$ c естественным порядком
Вопрос опять же в контексте.
В теории категорий есть какое-то понятие "естественности" (я о нем ничего, кроме существования, не знаю, но тут есть специалисты). В других контекстах, "естественный" или "стандартный" порядок на $\mathbb R$ (кстати $R$ и $\mathbb R$ - это разные обозначения) - это один конкретный порядок. Если где-то говорится о "естественном порядке" не другой структуре - укажите контекст.
(и желательно ссылку на книгу давать с указанием страницы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение20.08.2024, 10:36 


28/03/24
76
mihaild в сообщении #1650667 писал(а):
Линейный порядок $>$ внутри себя не хранит никаких знаний про свою конструкцию, это просто бинарное отношение

Хорошо.

Тогда можно сказать хотя бы так:

Система $(A,<)$ отличается от системы $(R,<)$ тем, что в системе $(A,<)$
способ сравнения элементов не задан в явном виде (отношение порядка определено, но не задано явно)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение естественного порядка
Сообщение20.08.2024, 11:02 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Vasily2024 в сообщении #1650802 писал(а):
Система $(A,<)$ отличается от системы $(R,<)$ тем, что в системе $(A,<)$
способ сравнения элементов не задан в явном виде

Нельзя. Они либо равны как пары множеств, либо не равны. У вас может вообще не быть на руках никакого определения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group