Сохранение энергии в ОТО, гравитационные волны и черные дыры

[realeugene]

epros в сообщении #1649528 писал(а):

Нет необходимости. Я дал своё определение и объяснил, как и для чего используется это понятие.

Которое отличается от первоисточников? Ну, значит, удачи в построении собственной ОТО.

epros в сообщении #1649528 писал(а):

Они связаны соотношением $e^{\underline{a}}_i e^i_{\underline{b}} = \delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$

От тетрады требуется $e^{\underline{a}}_i e^{\underline{b}}^i = \eta^{\underline{a}}^{\underline{b}}$. Где $\eta^{\underline{a}}^{\underline{b}}$ - постоянная симметричная матрица правильной сигнатуры. Вот поднимите индекс $e^{\underline{a}}_i$ и сверните с оригиналом, чтобы увидеть, что норма вашего вектора может быть не постоянная в кривых координатах.

epros в сообщении #1649528 писал(а):

Похоже, что Вы определения расстояний не знаете.

Расстояние - это модуль длины интервала между двумя бесконечно близкими точками в трёхмерном пространстве. У вас собственное определение?

[epros]

realeugene в сообщении #1649534 писал(а):

От тетрады требуется $e^{\underline{a}}_i e^{\underline{b}}^i = \eta^{\underline{a}}^{\underline{b}}$. Где $\eta^{\underline{a}}^{\underline{b}}$ - постоянная симметричная матрица правильной сигнатуры. Вот поднимите индекс $e^{\underline{a}}_i$ и сверните с оригиналом, чтобы увидеть, что норма вашего вектора может быть не постоянная в кривых координатах.

Я сказал, что мне нужно от тетрады: Чтобы вектор $dx^i$ с помощью ковекторной тетрады сворачивался в скалярные промежуток времени и перемещение по направлению. Могу добавить, что от сопряжённой ей векторной тетрады мне нужно, чтобы градиент скалярной функции $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ с её помощью сворачивался в скалярные производные по времени и по расстоянию. Ваши собственные определения можете использовать для собственных целей, я не знаю для каких.

realeugene в сообщении #1649534 писал(а):

Расстояние - это модуль длины интервала между двумя бесконечно близкими точками в трёхмерном пространстве. У вас собственное определение?

Это у Вас собственное определение. Удачи Вам с определением длины движущегося стержня. Когда определите, сравните с формулой (84,7) ЛЛ2.

[realeugene]

epros в сообщении #1649559 писал(а):

Ваши собственные определения можете использовать для собственных целей, я не знаю для каких.

"Моё собственное определение" дано в §98 ЛЛ2. А ваше вообще не про тетрадные базисы. Если скалярные произведения ортов тетрады не постоянны, у вас очевидные сложности с их дифференцированием и представлением через тетрады и их производные тензоров кривизны. Ваши представления про смысл тетрад основываются на чьих-то фантазиях, но не на учебнике. Зачем вы запутываете окружающих, называя свои фантазии общеупотребимым термином, которому они не соответствуют?

epros в сообщении #1649559 писал(а):

Это у Вас собственное определение. Удачи Вам с определением длины движущегося стержня. Когда определите, сравните с формулой (84,7) ЛЛ2.

Сравнил. Совпало. Для частного случая, когда частица движется вдоль времениподобной координаты. Но при недиагональной метрике локальное пространство этой частицы перекошено относительно сечения $x^0=\operatorname{const}$. А вы не заметили, что это расстояние - это просто интервал в перекошенном сечении одновременности, с точность до мнимой единицы? Вроде, сам вывод в ЛЛ2 упомянутой вами формулы на этом и основан.

[epros]

realeugene в сообщении #1649582 писал(а):

"Моё собственное определение" дано в §98 ЛЛ2. А ваше вообще не про тетрадные базисы.

Вы, наверное, как-то плохо читаете, раз не заметили, что написанное мной совпадает с написанным в §98 ЛЛ2. Даже мою формулу, приведённую вот здесь:

epros в сообщении #1649528 писал(а):

Они связаны соотношением $e^{\underline{a}}_i e^i_{\underline{b}} = \delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$, где $\delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$ - символ Кронекера.

, которую Вы сходу лихо раскритиковали, Вы там можете увидеть под номером (98,2).

При этом я не цитирую Библию, а объясняю, что, откуда и почему берётся.

realeugene в сообщении #1649582 писал(а):

А вы не заметили, что это расстояние - это просто интервал в перекошенном сечении одновременности, с точность до мнимой единицы?

Я не знаю, что такое "интервал в перекошенном сечении одновременности". По моим понятиям интервал определяется между событиями (точками пространства-времени). А заявление о том, что расстояния определяются пространственными компонентами метрики, является неверным, по крайней мере, в несинхронных координатах.

-- Пн авг 12, 2024 14:02:51 --

realeugene в сообщении #1649582 писал(а):

Ваши представления про смысл тетрад основываются на чьих-то фантазиях

Кстати, это очень лихо, обозвать "фантазиями" знание о существовании часов и линеек.

[realeugene]

epros в сообщении #1649588 писал(а):

realeugene в сообщении #1649582 писал(а):

"Моё собственное определение" дано в §98 ЛЛ2. А ваше вообще не про тетрадные базисы.

Вы, наверное, как-то плохо читаете, раз не заметили, что написанное мной совпадает с написанным в §98 ЛЛ. Даже мою формулу, приведённую вот здесь:

epros в сообщении #1649528 писал(а):

Они связаны соотношением $e^{\underline{a}}_i e^i_{\underline{b}} = \delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$, где $\delta^{\underline{a}}_{\underline{b}}$ - символ Кронекера.

, которую Вы сходу лихо раскритиковали, Вы там можете увидеть под номером (98,2).

Ваше выражение для орта якобы тетрады не соответствует формуле (98,1) с учётом (98.4).

epros в сообщении #1649588 писал(а):

realeugene в сообщении #1649582 писал(а):

А вы не заметили, что это расстояние - это просто интервал в перекошенном сечении одновременности, с точность до мнимой единицы?

Я не знаю, что такое "интервал в перекошенном сечении одновременности". По моим понятиям интервал определяется между событиями (точками пространства-времени). А заявление о том, что расстояния определяются пространственными компонентами метрики, является неверным, по крайней мере, в несинхронных координатах.

Очень плохо, что вы не знаете элементарных вещей из ОТО. И приписываете мне то, что я не писал. Я нигде не писал, что расстояния определяются пространственными компонентами метрики. Я писал, что расстояние есть интервал между точками в пространстве. Трёхмерное пространство вложено в четырехмерное многообразие как трёхмерная гиперповерхность. Точки этого трёхмерного пространства являются событиями в многообразии. Метрика многобразия индуцирует метрику между точками его сечения. Но у этих событий на пространственной гиперповерхности может быть разная временная координата, если рассматриваемая трёхмерная гиперповерхность не соответствует сечению $x^0=\operatorname{const}$. Изменение временной координаты у различных точек пространства нужно учитывать в длине интервала при расчёте индуцированной пространственной метрики на трёхмерной гиперповерхности. Что в ЛЛ2 и делается.

Над смыслом понятия "одновременность" и тем, как правильно выбирать трёхмерное пространственное сечение предлагаю вам подумать самостоятельно. Не забудьте также про термин "синхронизируемость" и причины, почему в общем случае в ОТО рассматривают только бесконечно малые участки трёхмерного пространства. Впрочем, начните с применения этого знания к СТО и преобразованиям Лоренца, там таких сложностей нет. Прочтите ещё раз внимательно §84 ЛЛ2. Подумайте. Вы справитесь, я в вас верю.

-- 12.08.2024, 13:23 --

epros в сообщении #1649588 писал(а):

Кстати, это очень лихо, обозвать "фантазиями" знание о существовании часов и линеек.

Вы удивитесь, но ход часов и длины ненапряженных линеек в ОТО полностью определяются метрикой четырехмерия. Которая выдаёт метры (и световые метры). Нужно только правильно применять эту метрику.

[epros]

realeugene в сообщении #1649592 писал(а):

Ваше выражение для орта якобы тетрады не соответствует формуле (98,1) с учётом (98.4).

Мои выражения не могут ни соответствовать, ни не соответствовать тому, о чём я не писал. А я не писал ни про $e^{\underline{b} i}$, ни про $e_{\underline{b} i}$. Если бы в Вашем троллинге была хоть капля разумности, то Вы бы заметили, что при желании величину $e_{\underline{b} i}$ можно определить через мои $e^{\underline{a}}_i$ и $e^i_{\underline{a}}$ как раз с помощью формул (98,1) и (98.4). Чего я не делал за ненадобностью.

realeugene в сообщении #1649592 писал(а):

Я нигде не писал, что расстояния определяются пространственными компонентами метрики. Я писал, что расстояние есть интервал между точками в пространстве.

И к тому же Вы сами не понимаете, что пишете. Потому что процитированное второе предложение означает в точности то же самое, что и первое.

realeugene в сообщении #1649592 писал(а):

Метрика многобразия индуцирует метрику между точками его сечения.

И эта индуцированная метрика не является расстояниями.

realeugene в сообщении #1649592 писал(а):

Над смыслом понятия "одновременность" и тем, как правильно выбирать трёхмерное пространственное сечение предлагаю вам подумать самостоятельно.

Ваше высокомерие плохо смотрится при Вашем уровне безграмотности.

realeugene в сообщении #1649592 писал(а):

Вы удивитесь, но ход часов и длины ненапряженных линеек в ОТО полностью определяются метрикой четырехмерия. Которая выдаёт метры (и световые метры). Нужно только правильно применять эту метрику.

Вы удивитесь, но метрика четырёхмерия не определяет систему отсчёта, потому что она про любые (произвольные) часы и линейки. А вот тетрада как раз систему отсчёта определяет, ибо она про конкретные (привязанные к конкретному телу отсчёта) часы и линейки.

[realeugene]

epros в сообщении #1649616 писал(а):

Мои выражения не могут ни соответствовать, ни не соответствовать тому, о чём я не писал. А я не писал ни про $e^{\underline{b} i}$, ни про $e_{\underline{b} i}$. Если бы в Вашем троллинге была хоть капля разумности, то Вы бы заметили, что при желании величину $e_{\underline{b} i}$ можно определить через мои $e^{\underline{a}}_i$ и $e^i_{\underline{a}}$ как раз с помощью формул (98,1) и (98.4). Чего я не делал за ненадобностью.

Того одного вектора, который вы написали, достаточно, чтобы увидеть, что ваши часы сломаны. Потому что длина вашего орта времени в координатах с недиагональной метрикой может стать отличной от единицы. Иными словами, свёртка с вашим ортом не даёт "истинное время", как вы заявляете. Формально, этот вектор сам по себе нарушает условие (98.1).

epros в сообщении #1649616 писал(а):

И к тому же Вы сами не понимаете, что пишете. Потому что процитированное второе предложение означает в точности то же самое, что и первое.

Нет, конечно. Продолжайте думать. Я в вас всё ещё верю.

Пространство совершенно не обязательно определяется уравнением $x^0 = \operatorname{const}$.

epros в сообщении #1649616 писал(а):

И эта индуцированная метрика не является расстояниями.

В том-то и дело, что является. Для некоторого тела, которое в этом пространстве покоится. Нюанс в том, что если тело в этом пространстве покоится, совершенно не обязательно его пространственные координаты постоянны. Пространственные координаты сами по себе могут зависеть от времени.

epros в сообщении #1649616 писал(а):

Ваше высокомерие плохо смотрится при Вашем уровне безграмотности.

Засуньте вашу гордыню в, и думайте. Лажа есть лажа.

epros в сообщении #1649616 писал(а):

Вы удивитесь, но метрика четырёхмерия не определяет систему отсчёта, потому что она про любые (произвольные) часы и линейки. А вот тетрада как раз систему отсчёта определяет, ибо она про конкретные (привязанные к конкретному телу отсчёта) часы и линейки.

Если её правильно определить. Но она совершенно не обязательна для того, чтобы считать пространственные расстояния и время. Достаточно выделенной мировой линии частицы. Четырехмерное пространство-время - это физический объект, и интервалы между событиями в нём как и сами события определены без каких-либо систем отсчёта.

[pppppppo_98]

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Во-первых, $n=4$, во-вторых, Вы сейчас попытались выписать (не совсем корректно), форму 4-объёма, а нам нужна форма 3-объёма, которая имеет направление.

Правильно я пытаюсь сконструировать 3-форму объема которая ковариантна относительно группы преобразований... Например для группы SO(3,1) в импульсном пространстве на массовой поверхности $p^i p_i = m^2$ таковой будет $d\Omega=\frac{1}{p^0} d^3 p$. В случае ОТО и группы общекоординатных диффеорморфизмов, таковой формы нет... И можно мириадами способами высасывать какие веса ставить разным наблюдателям в разных точках гиперповерхности, и разумного выбора не будет.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

В третьих, формы объёма не зависят от метрики (да, да, удивлены?), так что $\sqrt{-g}$ в ней неуместен.

да вы что ... а расскажитн же мне тогда а какую СК взять ха эталонную что бы составить форму 4-объема...

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Гуглите понятие "тело отсчёта".

я предпочитаю тело отсчета - сириус... а колега соседнюю сопку, я предпочитаю мерять время по наручныс часам, а оленевод , заполярным кругрм по восходу и заходу солнца - и плэтому мы не сойдемся во мнении сколько раз встает солнце...это все начало даде не ото, а сто

epros в сообщении #1649443 писал(а):

могут быть разные в одной и той же точке в один и тот же момент времени.

а уж тем более рассказывать о рдном моменте времени, тоже начиная со сто

epros в сообщении #1649443 писал(а):

Там нет никаких кварков, есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр.

а в ЧД то поди валятся барионная материя, сотоящая из кварков, и кудаже они деваются... Вопрос ведь...

[realeugene]

epros в сообщении #1649616 писал(а):

можно определить через мои $e^{\underline{a}}_i$ и $e^i_{\underline{a}}$

Добавлю, что условие нормировки (98.1) сформулировано для ортов с нижними тетрадными индексами, и в неортогональной тетраде, действительно, при опускании тетрадного индекса может появиться смесь с другими ортами тетрады, но в ортогональной тетраде, в которой не смешиваются линейки с часами, это невозможно.

Но это и не важно.

[piksel]

epros в сообщении #1649528 писал(а):

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

Если гравитационное поле само не является источником гравитации

Является.

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

уменьшается при сохранении числа атомов

Там нет никаких атомов.

piksel в сообщении #1649456 писал(а):

присутствует еще что-то, что уменьшает эту массу.

Я писал о том, что уменьшает эту массу:

epros в сообщении #1649106 писал(а):

3) Что через данную поверхность наружу уходит поток гравитационного излучения, уносимая которым энергия (измеренная относительно той же системы отсчёта) удивительным образом оказывается равной уменьшению данного параметра $M$.

epros в сообщении #1649443 писал(а):

есть только гравитационное поле, энергия которого уменьшается в результате слияния чёрных дыр

Я рассматриваю не слияние ЧД, а слияние тел без образования ЧД. Гравитационное излучение унеслось, но прежнее число атомов осталось. Однако теперь они создают меньшую гравитационную массу, чем раньше.

[epros]

realeugene в сообщении #1649620 писал(а):

Формально, этот вектор сам по себе нарушает условие (98.1).

Я продолжаю удивляться тому, как Вы читаете. Формула (98,1) это не какое-то условие "нормировки" тетрады или что-то подобное, а определение связи между $e^i_{\underline{a}}$ и $e_{\underline{b} i}$. Не имея никакого $e_{\underline{b} i}$, это "условие" невозможно нарушить никаким выбором $e^i_{\underline{a}}$.

realeugene в сообщении #1649620 писал(а):

Пространство совершенно не обязательно определяется уравнением $x^0 = \operatorname{const}$.

Разумеется пространственно подобная гиперповерхность (которую Вы называли "сечением") не обязательно определяется уравнением $x^0 = \operatorname{const}$. Но при этом отмеренный вдоль этой гиперповерхности интервал вообще говоря не является никаким расстоянием. За исключением специального случая, когда гиперповерхность ортогональна направлению мировой линии часов, привязанных к той СО, относительно которой мы измеряем расстояния.

realeugene в сообщении #1649620 писал(а):

Нюанс в том, что если тело в этом пространстве покоится, совершенно не обязательно его пространственные координаты постоянны. Пространственные координаты сами по себе могут зависеть от времени.

Это какой-то бред. Если система отсчёта связана с координатами, то пространственные координаты покоящегося относительно этой СО тела по определению не зависят от времени.

realeugene в сообщении #1649620 писал(а):

Четырехмерное пространство-время - это физический объект, и интервалы между событиями в нём как и сами события определены без каких-либо систем отсчёта.

Интервалы определены, а время и расстояния - нет.

pppppppo_98 в сообщении #1649622 писал(а):

Правильно я пытаюсь сконструировать 3-форму объема которая ковариантна относительно группы преобразований...

3-форма объёма в 4-мерном пространстве-времени имеет ковариантный тензорный индекс, ибо соответствующая гиперповерхность может быть ориентирована по-разному.

pppppppo_98 в сообщении #1649622 писал(а):

В случае ОТО и группы общекоординатных диффеорморфизмов, таковой формы нет...

Наличие формы объёма не зависит от того, ОТО это или не ОТО. Достаточно наличия пространства, и даже не обязательно метрического, и даже не обязательно аффинно-связного.

pppppppo_98 в сообщении #1649622 писал(а):

а расскажитн же мне тогда а какую СК взять ха эталонную что бы составить форму 4-объема...

Запись, в которой множитель $\sqrt{-g}$ относят к форме объёма, обусловлена попытками сделать из формы объёма скаляр (или ковектор, если есть индекс). Такой подход имеет право на существование, но он плох тем, что не работает (по очевидным причинам) в неметрических пространствах. Между тем интегралы по объёмам и охватывающим их поверхностям прекрасно определимы и в неметрических пространствах.

Дальнейших рассуждений я не понял. Чтобы начать что-то отсчитывать, надо выбрать конкретное тело отсчёта, а не рассуждать о том, что выбор тела отсчёта может быть произвольным.

pppppppo_98 в сообщении #1649622 писал(а):

а в ЧД то поди валятся барионная материя, сотоящая из кварков, и кудаже они деваются...

Я не знаю, что там и когда валилось в чёрную дыру. Может быть она вообще является вечной (есть в ОТО такое решение).

-- Пн авг 12, 2024 20:57:56 --

piksel в сообщении #1649659 писал(а):

Я рассматриваю не слияние ЧД, а слияние тел без образования ЧД. Гравитационное излучение унеслось, но прежнее число атомов осталось. Однако теперь они создают меньшую гравитационную массу, чем раньше.

Да, верно. Количество атомов не уменьшилось и массы отдельных атомов тоже не уменьшились. Но к системе добавилась отрицательная энергия гравитационного поля.

[realeugene]

piksel в сообщении #1649659 писал(а):

Я рассматриваю не слияние ЧД, а слияние тел без образования ЧД. Гравитационное излучение унеслось, но прежнее число атомов осталось. Однако теперь они создают меньшую гравитационную массу, чем раньше.

Большое разреженное сферически симметричное облако пыли массой $M$ собралось в звезду. Энергия упавшей в гравитационную яму материи звезды возросла при сохранении количества кварков. Масса звезды, проинтегрированная в приближении одинакового времени для всех внутренностей звезды, стала больше $M$. А видимая снаружи через гравитацию масса звезды так и осталась $M$. $M$ - это только параметр Шварцшильда.

-- 12.08.2024, 20:23 --

epros в сообщении #1649663 писал(а):

Я продолжаю удивляться тому, как Вы читаете. Формула (98,1) это не какое-то условие "нормировки" тетрады или что-то подобное, а определение связи между $e^i_{\underline{a}}$ и $e_{\underline{b} i}$. Не имея никакого $e_{\underline{b} i}$, это "условие" невозможно нарушить никаким выбором $e^i_{\underline{a}}$.

В этом определении нет требования, что $a \ne b$.

epros в сообщении #1649663 писал(а):

Но при этом отмеренный вдоль этой гиперповерхности интервал вообще говоря не является никаким расстоянием. За исключением специального случая, когда гиперповерхность ортогональна направлению мировой линии часов, привязанных к той СО, относительно которой мы измеряем расстояния.

Давайте без интегралов. Бесконечно малая область.

Да, трёхмерное пространство как гиперповерхность ортогонально мировой линии тел, которые в этом пространстве неподвижны. Только для таких тел точки-события в этом пространстве синхронизированы. Для других тел эта гиперповерхность не является синхронизированной. Этот как вы выразились "специальный случай" и есть определение трёхмерного пространства в некоторый момент времени. Расстояния в пространстве нужно считать в один момент времени, а не в разные. Классика СТО.

Да и не только СТО. Давайте посчитаем расстояние между последним вагоном при отправлении поезда и первым при его прибытии. Назвав это расстояние "длиной поезда".

epros в сообщении #1649663 писал(а):

Это какой-то бред. Если система отсчёта связана с координатами, то пространственные координаты покоящегося относительно этой СО тела по определению не зависят от времени.

Тело покоится в пространстве, если его мировая линия ортогональна пространственной гиперповерхности. Это никак не связано с координатами. Только в этом случае можно выбрать локально-инерциальную систему отсчёта, в которой локальное пространство совпадает с этой гиперповерхностью.

epros в сообщении #1649663 писал(а):

Интервалы определены, а время и расстояния - нет.

Ещё раз: достаточно задать мировую линию, чтобы отделить время от расстояния. Разные проходящие через событие мировые линии задают разные время и пространство с этим событием. Но когда мировая линия выбрана, время и расстояния в окрестности этого события заданы, и больше ничего не нужно.

[epros]

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

Большое разреженное сферически симметричное облако пыли массой $M$ собралось в звезду. Энергия упавшей в гравитационную яму материи звезды возросла при сохранении количества кварков. Масса звезды, проинтегрированная в приближении одинакового времени для всех внутренностей звезды, стала больше $M$. А видимая снаружи через гравитацию масса звезды так и осталась $M$. $M$ - это только параметр Шварцшильда.

Хотя piksel говорил про другую задачу, но, как ни странно, комментарий к той задаче, которую имел сейчас в виду realeugene, он дал правильно. Осталось понять, как интегрированием ТЭИ по пространственному трёхмерию получить правильный результат: что суммарная масса пыли стала больше на приобретённую пылинками кинетическую энергию.

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

В этом определении нет требования, что $a \ne b$.

И что?

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

Да, трёхмерное пространство как гиперповерхность ортогонально мировой линии тел, которые в этом пространстве неподвижны.
...
Этот как вы выразились "специальный случай" и есть определение трёхмерного пространства в некоторый момент времени. Расстояния в пространстве нужно считать в один момент времени, а не в разные.

Нет, не так. Пространственная гиперповерхность одновременности определяется выбором координат. Во вращающейся СО Вы никак не определите единую гиперповерхность, ортогональную всем мировым линиям неподвижных тел. При этом объём тора "в данный момент" считать как-то нужно. Это просто означает, что в данной СО "одновременность" определяется нестандартным образом - не по Эйнштейну. А конкретнее - синхронизация в Эйнштейновском смысле в данном случае выполняется только в радиальных направлениях и по оси вращения (и этого достаточно для определения нестандартной "одновременности" на всём теле отсчёта).

А вот пространственная метрика на этой гиперповерхности одновременности не является срезом метрики пространства-времени, а определяется формулой (84,7) из ЛЛ2.

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

Классика СТО.

Да и не только СТО. Давайте посчитаем расстояние между последним вагоном при отправлении поезда и первым при его прибытии. Назвав это расстояние "длиной поезда".

То, что Вы назвали "классикой СТО" на самом деле является определением ИСО: в ней одновременность по определению является стандартной Эйнштейновской. Для НСО в общем случае это определение не подходит. А чтобы в качестве длины поезда не получилось расстояние между последним вагоном при отправлении поезда и первым при его прибытии, нужно пользоваться формулой (84,7) для определения расстояний, а не считать, что расстояние - это интервал.

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

Тело покоится в пространстве, если его мировая линия ортогональна пространственной гиперповерхности. Это никак не связано с координатами. Только в этом случае можно выбрать локально-инерциальную систему отсчёта, в которой локальное пространство совпадает с этой гиперповерхностью.

Это продолжение бреда. Тело покоится относительно тела отсчёта, если пространственные координаты каждой его точки в каждый момент остаются равными координатам одной и той же соответствующей точки тела отсчёта. А пространственные координаты точек тела отсчёта по определению не меняются, если эти координаты - сопутствующие, т.е. соответствуют выбору СО. Это никак не связано с проведением пространственной гиперповерхности.

А локально инерциальную систему в заданной точке можно выбрать всегда, причём она не обязана сопутствовать телу отсчёта (но может и сопутствовать).

realeugene в сообщении #1649665 писал(а):

Ещё раз: достаточно задать мировую линию, чтобы отделить время от расстояния.

Вообще-то "задать мировую линию" - это уже значит частично определить СО, мы это делаем, определяя нулевой вектор тетрады вдоль этой мировой линии. Остаётся ещё зафиксировать пространственные направления, мы это делаем, определяя остальные векторы тетрады.

[SergeyGubanov]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1648758 писал(а):

realeugene в сообщении #1648755 писал(а):

Только ТЭИ стоит в правой части уравнений Эйнштейна как источник поля.

Это терминологически некорректное употребление понятия "источники". Источник - это то, для чего соблюдается уравнение непрерывности, в просторечии именуемое законом сохранения. Для ТЭИ в ОТО уравнение непрерывности не соблюдается.

$+1$

[realeugene]

epros в сообщении #1649710 писал(а):

И что?

$e^{\underline{0}}_i e^{\underline{0}}^i = \eta^{\underline{0}}^{\underline{0}} = \operatorname{const}$

А у вас норма вашего нулевого репера не постоянна. Ваши часы сломаны.

epros в сообщении #1649710 писал(а):

Во вращающейся СО Вы никак не определите единую гиперповерхность, ортогональную всем мировым линиям неподвижных тел.

Совершенно верно. Координаты глобально несинхронизируемы. Глобальной трёхмерной гиперповерхности, по которой можно было бы проинтегрировать объём, нет. В общем случае.

epros в сообщении #1649710 писал(а):

При этом объём тора "в данный момент" считать как-то нужно.

Если нельзя, но очень хочется, иногда можно придумать обходные пути. Иногда.

Например, считать объём разрезанного тора. Разрезанный тонкий тор вполне синхронизируем. Можно, даже, склеить полученное трёхмерное пространство через разрез ещё одной картой-заплаткой в единое трёхмерное многообразие. И объявить его объём объёмом тора. Голь на выдумки хитра.

epros в сообщении #1649710 писал(а):

А чтобы в качестве длины поезда не получилось расстояние между последним вагоном при отправлении поезда и первым при его прибытии, нужно пользоваться формулой (84,7) для определения расстояний, а не считать, что расстояние - это интервал.

Центральный момент вашего непонимания. Расстояние по формуле (84.7) из ЛЛ2 и есть интервал. До точки на мировой линии B с временной координатой $x^0+\frac{dx^{0(1)}+dx^{0(2)}}2$. Полученной при помощи стандартной процедуры синхронизации Эйнштейна. Эта линейно зависящая от пространственных координат поправка времени и выделяет бесконечно малую трёхмерную гиперплоскость, ортогональную нарисованным на Рис. 18 мировым линиям, совпадающим в данном частном случае с координатной осью $x^0$. Интервалы между точками в данной гиперплоскости и равны по модулю расстояниям между ними в трёхмерном пространстве по формуле (84,7).

Вот подставьте эти координаты в метрику четырехмерия и подсчитайте сами. Это просто.

epros в сообщении #1649710 писал(а):

Это продолжение бреда.

По какой-то причине вы иногда лажаете в самых основах ОТО. И упорствуете в этом.

epros в сообщении #1649710 писал(а):

Вообще-то "задать мировую линию" - это уже значит частично определить СО, мы это делаем, определяя нулевой вектор тетрады вдоль этой мировой линии. Остаётся ещё зафиксировать пространственные направления, мы это делаем, определяя остальные векторы тетрады.

Вообще-то для определения расстояний это не нужно. После выбора мировой линии все расстояния определяются метрикой четрырехмерия интервалами в пространстве одновремённости, синхронизированном с рассматриваемым событием и, значит, ортогональном выбранной проходящей через это событие мировой линии. Длины всех возможных ненапряженных эталонных метров в этом пространстве обязательно согласованы с метрикой четырехмерия. Никаких других эталонов метров не бывает.

-- 13.08.2024, 11:31 --

epros в сообщении #1649710 писал(а):

что суммарная масса пыли стала больше на приобретённую пылинками кинетическую энергию.

Но что любопытно: если умножить увеличившуюся энергию пыли на поправку гравитационного красного смещения, опять получится $M$.