Диаграмма Эйлера-Венна

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1649300 писал(а):

Нет, для трёх множеств другое определение.

То есть чем больше множеств тем "более другое" определение будет?

[Mikhail_K]

Elijah96 в сообщении #1649297 писал(а):

И если событий не 3(как в моемпримере) а более,то тогда нужно искать симметрическую разность двух или трех событий а затем все складывать?

Давайте ещё раз поймём, как Вы нашли $A\triangle B\triangle C$.
Вы могли обозначить $A\triangle B$ через $X$ и получить:

$$ A\triangle B\triangle C=X\triangle C=(X\backslash C)\cup (C\backslash X)= $$ $$ =((A\triangle B)\backslash C)\cup (C\backslash (A\triangle B))=(((A\backslash B)\cup(B\backslash A))\backslash C)\cup (C\backslash ((A\backslash B)\cup(B\backslash A))). $$

Как найти теперь $A\triangle B\triangle C\triangle D$? Например, можно обозначить $A\triangle B\triangle C$ через $X$, получить $X\triangle D=(X\backslash D)\cup(D\backslash X)$, затем заменить $X$ в этой формуле на полученную уже формулу $(((A\backslash B)\cup(B\backslash A))\backslash C)\cup (C\backslash ((A\backslash B)\cup(B\backslash A)))$.

(Стоит отметить, что здесь неявно эксплуатируется свойство ассоциативности симметрической разности.)

Elijah96 в сообщении #1649299 писал(а):

То есть для трех множеств разве не будет:"Симметрическая разность трех множеств — теоретико-множественная операция,результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств,не принадлежащие одновременно трем исходным множествам."

Нет, не будет. Я же писал выше: не стройте новые определения по аналогии, аналогия в математике работает не всегда. И вообще меньше верьте словам и больше верьте формулам.

[Elijah96]

То есть например чтобы найти симметрическую разность для n множеств,нужно найти симметрическую разность для n-1 множеств а затем обозначить ее через Х?
Получается чтобы найти нужную формулу для n множеств,нужно найти формулы для n-1,n-2,n-3...n-k множеств
Я имею ввиду например чтобы найти формулу для 6 множеств,нужно найти формулу для двух множеств,с помощью нее выразить формулу для трех множеств,потом с помощью полученной формулы нужно выразить формулу для четырех множест,и так далее до шести множеств

-- 10.08.2024, 22:54 --

К примеру верна ли эта формула для 5 множеств(A,B,C,D,E):

$A \triangle B \triangle C \triangle D \triangle E = (((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)))) \setminus E) \cup (E \setminus ((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)))))$

А эта формула для 6 множеств:

$A \triangle B \triangle C \triangle D \triangle E \triangle F = ((((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)))) \setminus E) \cup (E ((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))))) \setminus F) \cup (F \setminus (((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)))) \setminus E) \cup (E ((((A \setminus B) \cup(B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))) \setminus D) \cup (D \setminus (((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) \setminus C) \cup (C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))))))$

[Mikhail_K]

Elijah96
Верно. Есть небольшая опечатка в формуле (именно опечатка, а не ошибка), но, насколько я вижу, принцип Вы уловили верно.

Можно эти формулы упростить, так чтобы сразу себе представлять, что эти множества из себя представляют. А то эти формулы довольно необозримые. Можете подумать над этим.

[Elijah96]

Mikhail_K в сообщении #1649308 писал(а):

Elijah96
Верно. Есть небольшая опечатка в формуле (именно опечатка, а не ошибка), но, насколько я вижу, принцип Вы уловили верно.

Можно эти формулы упростить, так чтобы сразу себе представлять, что эти множества из себя представляют. А то эти формулы довольно необозримые. Можете подумать над этим.

Не подскажите где именно опечатка?
И сильно ли можно упростить эти формулы?
Из упрощения на ум приходит только то что Вы и так говорили,то есть выразить через Х симметрическую разность для n множеств

[Mikhail_K]

Elijah96 в сообщении #1649309 писал(а):

Не подскажите где именно опечатка?

Вместо $E\backslash(\ldots)$ написали $E(\ldots)$.

Elijah96 в сообщении #1649309 писал(а):

И сильно ли можно упростить эти формулы?

Так, чтобы сразу себе хорошо представлять, что это за множества, что в них входит, а что нет. Из Ваших формул это сходу не видно.

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1649309 писал(а):

И сильно ли можно упростить эти формулы?

Я не уверен, что для $n$ множеств можно написать формулу менее чем экспоненциальной длины. Но можно написать её хотя бы в симметричном виде, например, в виде ДНФ.

[Elijah96]

Mikhail_K в сообщении #1649311 писал(а):

Вместо $E\backslash(\ldots)$ написали $E(\ldots)$.

Да,спасибо,исправил

Mikhail_K в сообщении #1649311 писал(а):

Так, чтобы сразу себе хорошо представлять, что это за множества, что в них входит, а что нет. Из Ваших формул это сходу не видно.

Я боюсь что насчет упрощения я вообще зависну)
Если эти-то формулы кое-как вывести получилось)
Хоть принцип понял)

И еще вопрос
https://postimg.cc/JtdvRgXF на этих диаграммах это просто отдельные множества(события)?
Или это как-то тоже по научному называется?

-- 10.08.2024, 23:30 --

dgwuqtj в сообщении #1649317 писал(а):

Elijah96 в сообщении #1649309 писал(а):

И сильно ли можно упростить эти формулы?

Я не уверен, что для $n$ множеств можно написать формулу менее чем экспоненциальной длины. Но можно написать её хотя бы в симметричном виде, например, в виде ДНФ.

Если для 6 множеств формула получилась громоздкой,то для n множеств она как минимум будет чуть ли не бесконечна)
А как ее сократить или выразить через что-то другое я запутаюсь конкретно,для меня это сложно)

[dgwuqtj]

Elijah96 в сообщении #1649322 писал(а):

Если для 6 множеств формула получилась громоздкой,то для n множеств она как минимум будет чуть ли не бесконечна)
А как ее сократить или выразить через что-то другое я запутаюсь конкретно,для меня это сложно)

Так я её уже упоминал, это множество тех элементов, которые находятся в нечётном количестве исходных множеств. Если даны множества $A_1, \ldots, A_n$, то $\triangle_{i = 1}^n A_i = \bigsqcup_{\substack{X_i \in \{A_i, A'_i\} \\ \{i \mid X_i = A_i\} \text{ нечётное}}} \bigcap_{i = 1}^n X_i$, или же $\triangle_{i = 1}^n A_i = \bigsqcup_{i = 1}^n (A_i \setminus \bigcup_{j \neq i} A_j) \sqcup \bigsqcup_{1 \leq i < j < k \leq n} (A_i \cap A_j \cap A_k \setminus \bigcup_{l \notin \{i, j, k\}} A_l) \sqcup \ldots$. Квадратное объединение означает, что объединяются непересекающиеся множества, это довольно удобно. Например, $A \triangle B \triangle C \triangle D = ABCD' \sqcup ABC'D \sqcup AB'CD \sqcup AB'C'D' \sqcup A'BCD \sqcup A'BC'D' \sqcup A'B'CD' \sqcup A'B'C'D$, если значки пересечения для краткости опускать. Для $n$ множеств будет дизъюнктное объединение $2^{n - 1}$ кусков, каждый из которых — пересечение $n$ множеств (исходных и их дополнений).

-- 10.08.2024, 23:44 --

Elijah96 в сообщении #1649322 писал(а):

Или это как-то тоже по научному называется?

Если вы спрашиваете, есть ли название у конкретно такой операции с множествами, то вряд ли. Напоминаю, что по вашей картинке операция не восстанавливается, её приходится дофантазировать в уме. Потому что диаграмма неполная.

[Elijah96]

Меня интересуют вероятности событий закрашенные серым https://postimg.cc/JtdvRgXF
Можно ли их найти по следующим формулам:

$\!1.PEGZ = (A \cup B \cup C \cup D \cup E)-(A \cap B)-(A \cap C)-(A \cap D)-(A\cap E)-(B \cap C)-(B \cap D)-(B \cap E)-(C \cap D)-(C \cap E)-(D \cap E)$

$\!2.PEGZ = (A \cap B) \cup(A \cap C) \cup(A \cap D) \cup(A \cap E) \cup(B \cap C) \cup(B \cap D) \cup(B \cap E) \cup (C \cap D) \cup (C \cap E) \cup (D \cap E)$

(Номера формул соответствуют номерам рисунков)
PEGZ - Probability Even Gray Zone(Вероятность Событий из Серой Зоны)

[dgwuqtj]

Так у вас произвольные 5 множеств или с дополнительными условиями, что диаграмма Венна как на рисунке? Вы бы ещё их друг в друге нарисовали...

[Elijah96]

dgwuqtj в сообщении #1649330 писал(а):

Так у вас произвольные 5 множеств или с дополнительными условиями, что диаграмма Венна как на рисунке? Вы бы ещё их друг в друге нарисовали...

Я просто с помощью диаграмм изобразил 5 пересекающихся множеств(событий)
И серым закрасил те области,вероятности которых нужно найти

[dgwuqtj]

Повторяю ещё раз: ваша картинка не однозначно задаёт события. Они могут задаваться вашими формулами, а могут и нет, и по картинке не понять в принципе. Это если множества произвольные, а не буквально круги на плоскости, для кругов как раз всё в порядке.

[Mikhail_K]

Elijah96 в сообщении #1649334 писал(а):

Я просто с помощью диаграмм изобразил 5 пересекающихся множеств(событий)

Важно, что так Вы можете изобразить далеко не произвольные 5 пересекающихся множеств.

Например, на Вашей картинке множество $B\backslash(A\cup C)$ не пересекается с множеством $D$. А если множества $A,B,C,D,E$ произвольны, то может и пересекаться.

Если у Вас вопрос конкретно про Ваши множества, а не про произвольные - это один вопрос. А если про произвольные пять множеств, то для них диаграмму Эйлера-Венна не так-то просто нарисовать, как в случае трёх множеств.

[Утундрий]

Elijah96 в сообщении #1649309 писал(а):

Не подскажите

Уговорили, не подскажу.