Сравнение по простому модулю

[nnosipov]

Найдите все нечетные простые числа $p$, для которых верно сравнение

$$\prod_{a=0}^{p-1}(a^3-3) \equiv 1984 \pmod{p}.$$

Комментарий. Сама задача несложная, но решая ее в общем виде, можно неожиданно столкнуться с одной нетривиальной теоремой Гаусса про кубические вычеты.

[mathematician123]

Здесь https://dxdy.ru/topic155307.html обсуждалась аналогичная задача.

(Оффтоп)

Рад, что Вы вернулись! Остальные задачи тоже посмотрю, когда будет время.

[nnosipov]

mathematician123
Спасибо за ссылку. Вот теперь я не уверен, сам ли я придумал этот сюжет или, пролистывая форум, увидел эту тему, а потом забыл про нее. В любом случае, вычисление произведений такого типа по простым модулям происходит понятно как, но ответ не всегда можно записать в разумной форме. Как пример: вычислить

$$\prod_{a=0}^{p-1}(a^3+a^2-2a-1) \bmod{p}$$

(для $p=101$ эту задачу я предлагал для Сибирской мат. олимпиады в прошлом году, но ее не взяли). Конечно, здесь многочлен очень специальный, поэтому и ответ получается в простой форме.

(Оффтоп)

Взаимно рад нашему общению! Поскольку партия задач немаленькая (и еще будут), лучше их переваривать постепенно.

[Руст]

Выражается через количество точек на эллиптической кривой $y^2=f(x), f(x)$ кубический многочлен с отличным от нуля дискриминантом.

[nnosipov]

Что выражается? Как выражается? Чего-то я начинаю уставать от этих ребусов.

[Руст]

Если $p=2$, то сравнение выполняется, $p=3$ нет.
$p=6k-1$ любой вычет является кубическим вычетом, но $1984=2^6*31\neq 0\mod p$ не годятся.
Остается искать среди $p=6k+1, p\neq 31$, где 3 не является кубическим вычетом.
Пусть $q$ куб некоторого образующего. Тогда
$\prod_a (a^3-3)= -3(\prod_{n=1}^{2k}(q^n-3))^3=-3* [3^{2k}+\sigma_13^{2k-1}+\sigma_2*3^{2k-1}+...\sigma_{2k}]^3=$
$-3*(3^{2k}+2k)^k\mod p=-3+(-3)c^2(p-1)-c(p-1)^2-\frac{(p-1)^3}{9}\mod p$ Здесь $с=3^{2k}$ кубический корень из 1 отличный от 1
$c^2+c+1=0\mod p$. Таким образом $-4c-6-\frac{1}{9}=1984\mod p$ или $36c=-17803\mod p$.
$c^2+c+1=\frac{17803^2}{36^2}-\frac{17803}{36}+1$ делится на p или $p|316307197$. Полученное число вида $6k-1$.
Нам нужны делители вида $6k+1$ надо искать (вручную сложно).

[nnosipov]

Руст
Все это верно, задача изначально понятная, но у Вас по-прежнему проблемы с арифметикой. Зачем Вы все руками-то считаете? Правильный ответ такой: $p \in \{2,562357\}$.