2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сравнение по простому модулю
Сообщение05.08.2024, 21:32 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Найдите все нечетные простые числа $p$, для которых верно сравнение $$\prod_{a=0}^{p-1}(a^3-3) \equiv 1984 \pmod{p}.$$

Комментарий. Сама задача несложная, но решая ее в общем виде, можно неожиданно столкнуться с одной нетривиальной теоремой Гаусса про кубические вычеты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение06.08.2024, 11:34 


21/04/22
356
Здесь https://dxdy.ru/topic155307.html обсуждалась аналогичная задача.

(Оффтоп)

Рад, что Вы вернулись! Остальные задачи тоже посмотрю, когда будет время.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение06.08.2024, 12:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
mathematician123
Спасибо за ссылку. Вот теперь я не уверен, сам ли я придумал этот сюжет или, пролистывая форум, увидел эту тему, а потом забыл про нее. В любом случае, вычисление произведений такого типа по простым модулям происходит понятно как, но ответ не всегда можно записать в разумной форме. Как пример: вычислить $$\prod_{a=0}^{p-1}(a^3+a^2-2a-1) \bmod{p}$$ (для $p=101$ эту задачу я предлагал для Сибирской мат. олимпиады в прошлом году, но ее не взяли). Конечно, здесь многочлен очень специальный, поэтому и ответ получается в простой форме.

(Оффтоп)

Взаимно рад нашему общению! Поскольку партия задач немаленькая (и еще будут), лучше их переваривать постепенно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение10.08.2024, 20:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Выражается через количество точек на эллиптической кривой $y^2=f(x),  f(x)$ кубический многочлен с отличным от нуля дискриминантом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение10.08.2024, 20:34 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Что выражается? Как выражается? Чего-то я начинаю уставать от этих ребусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение10.08.2024, 23:16 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Если $p=2$, то сравнение выполняется, $p=3$ нет.
$p=6k-1$ любой вычет является кубическим вычетом, но $1984=2^6*31\neq 0\mod p$ не годятся.
Остается искать среди $p=6k+1, p\neq 31$, где 3 не является кубическим вычетом.
Пусть $q$ куб некоторого образующего. Тогда
$\prod_a (a^3-3)= -3(\prod_{n=1}^{2k}(q^n-3))^3=-3* [3^{2k}+\sigma_13^{2k-1}+\sigma_2*3^{2k-1}+...\sigma_{2k}]^3=$
$-3*(3^{2k}+2k)^k\mod p=-3+(-3)c^2(p-1)-c(p-1)^2-\frac{(p-1)^3}{9}\mod p$ Здесь $с=3^{2k}$ кубический корень из 1 отличный от 1
$c^2+c+1=0\mod p$. Таким образом $-4c-6-\frac{1}{9}=1984\mod p$ или $36c=-17803\mod p$.
$c^2+c+1=\frac{17803^2}{36^2}-\frac{17803}{36}+1$ делится на p или $p|316307197$. Полученное число вида $6k-1$.
Нам нужны делители вида $6k+1$ надо искать (вручную сложно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сравнение по простому модулю
Сообщение11.08.2024, 09:13 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Руст
Все это верно, задача изначально понятная, но у Вас по-прежнему проблемы с арифметикой. Зачем Вы все руками-то считаете? Правильный ответ такой: $p \in \{2,562357\}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group