Простое p, как делитель многочлена

[rightways]

Найдите все простые $p$ для которых остаток от деления числа $\prod ^{p-1}_{n=1}\left( n^{3} +3\right)$ на $p$ равен $4$.

[gris]

Ну если для ясности написать, что происходит, то получим число, сомножители и остаток.
2 [4] 0
3 [4, 11] 2
5 [4, 11, 30, 67] 0
7 [4, 11, 30, 67, 128, 219] 1
11 [4, 11, 30, 67, 128, 219, 346, 515, 732, 1003] 0
А теперь просто остатки:
0, 2, 0, 1, 0, 8, 0, 7, 0, 0,
29, 26, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 62, 0, 0, 19, 0, 0, 0, 54, 0,
10, 0, 0, 116, 0, 0, 75, 25, 0, 0
, 0, 71, 0, 0, 0, 42
Четвёрка есть для $p=43$.
Посмотрим $p$ с остатком произведения 4. Ничего не видно.
Интересно, но вполне ожидаемо, что нулей больше всего — две трети всех остатков (для пары тысяч простых)
Тут теория нужна. А я остаюсь с 43

[Null]

При $p=3k+2$ будет 0. Или при $p=3k+1$ и $p|3^k-1$(это условие вроде можно упростить) тоже будет 0.
Должно быть $p=3k+1$ и $(3^k-1)^3=4 \pmod{p}$

[mathematician123]

Формулу произведения можно упростить. Если $p \equiv 2 \pmod{3}$, то произведение равно нулю. Пусть $p \equiv 1 \pmod{3} $. Рассмотрим многочлен $f(x) = \prod_{n = 1}^{p-1}(x - n^3)$ над полем $\mathbb{F}_p$.

$$f(x) = \left(\prod_{i = 1}^{\frac{p-1}{3}}(x - x_i)\right)^3 = \left(x^{\frac{p-1}{3}} - 1\right)^3$$

где $x_i$ - кубические вычеты по модулю $p$. Подставив $x = -3$, получим, что $\prod_{n = 1}^{p - 1}(n^3 + 3) \equiv (3^{\frac{p-1}{3}} - 1)^3 \pmod{p}$.

-- 17.08.2023, 20:33 --

Пусть $\omega = 3^{\frac{p-1}{3}}$. Тогда $\omega^3 \equiv 1 \pmod{p}$. Формулу для произведения можно дальше упростить.

$$\prod_{n = 1}^{p - 1}(n^3 + 3) \equiv 3\omega - 3\omega^2 \pmod{p}$$

.

[KhAl]

И система $3x^2 - 3x + 4 = 0$, $x^3 - 1 = 0$ имеет решение только в полях характеристики 2 и 43, что легко проверить