2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 21:17 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Вероятность случайного события $\beta$. Каково среднее количество N испытаний до наступления M событий?

Что-то не соображу даже с какой стороны подойти. В случае ожидания одного события всё просто: суммируем количество испытаний с вероятностным весом: $$N=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\beta(1-\beta)^{k-1}=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(1-\beta)^k=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\beta}$$
Не может же быть так просто, что надо теперь это на M помножить, чтобы получился результат? Вероятность получить M событий после k испытаний не будет такой простой штукой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 22:42 


14/11/21
141
Первое тождество Вальда вроде должно помочь.

(Оффтоп)

$E\left\lbrace N \right\rbrace=M/\beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Пусть $\xi_i$ - время между $i-1$-м и $i$-м успехами. Докажите, что они все одинаково распределены. А дальше нас интересует $E\sum\limits_{i=1}^M \xi_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:48 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
mihaild в сообщении #1647874 писал(а):
Докажите, что они все одинаково распределены.

Как-то не вижу что здесь доказывать. Это случайные величины одной природы, потому что события происходят с независимой от номера испытания вероятностью. Так что значение $\xi_i$ не зависит от индекса, и они все одинаковы в том числе для индекса 1, где нулевым "успехом" считаем начало отсчёта времени. И для $\xi_0$ матожидание $\mathrm{E}\;\xi_0$ я, получается, посчитал в первом посте. В самом деле, всего лишь надо домножить на M выходит.

Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:50 


14/11/21
141
$N = \min\limits_{}\left\lbrace n: X_1+...+X_n=M\right\rbrace$ - время останова.
$P\left\lbrace X_n=1 \right\rbrace = \beta, P\left\lbrace X_n=0 \right\rbrace = 1-\beta$
$E\left\lbrace X_1 \right\rbrace = 1 \beta + 0(1-\beta)= \beta$

По определению времени останова: $\sum\limits_{i=1}^{N}X_n = M \Rightarrow $
$E\left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{N}X_n \right\rbrace = M$

$M=E\left\lbrace X_1 \right\rbrace E\left\lbrace N \right\rbrace = \beta E\left\lbrace N \right\rbrace \Rightarrow E\left\lbrace N \right\rbrace = M/\beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:57 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Alex Krylov, тоже интересный взгляд на проблему. Само тождество Вальда не очевидно, хотя и логично. Не знал, возьму на заметку на будущее. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение31.07.2024, 00:18 


14/11/21
141
Похожая тема тут уже играла: https://dxdy.ru/post1636349.html#p1636349 Там приведены неплохие ссылки с примерами. В случае, когда $E\left\lbrace X_1 \right\rbrace=0$, чтобы получить $E\left\lbrace N \right\rbrace$, приходится дополнительно задействовать так называемое 2-е тождество Вальда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение31.07.2024, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Вы же не вероятность M событий после k испытаний желаете найти, а среднее число испытаний для получения M событий. Для одного среднее число испытаний Вы нашли. Два события произойдут, если сперва случится одно, а после него второе,

(Оффтоп)

(прапорщик Ясненько, придерживайте фуражку!)
то есть на первое нужно среднее время на один успех, а затем ещё раз среднее время на ещё один успех, и так далее до M успехов. Матожидание суммы равно сумме матожиданий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group