2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 21:17 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Вероятность случайного события $\beta$. Каково среднее количество N испытаний до наступления M событий?

Что-то не соображу даже с какой стороны подойти. В случае ожидания одного события всё просто: суммируем количество испытаний с вероятностным весом: $$N=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\beta(1-\beta)^{k-1}=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(1-\beta)^k=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\beta}$$
Не может же быть так просто, что надо теперь это на M помножить, чтобы получился результат? Вероятность получить M событий после k испытаний не будет такой простой штукой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 22:42 


14/11/21
141
Первое тождество Вальда вроде должно помочь.

(Оффтоп)

$E\left\lbrace N \right\rbrace=M/\beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Пусть $\xi_i$ - время между $i-1$-м и $i$-м успехами. Докажите, что они все одинаково распределены. А дальше нас интересует $E\sum\limits_{i=1}^M \xi_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:48 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
mihaild в сообщении #1647874 писал(а):
Докажите, что они все одинаково распределены.

Как-то не вижу что здесь доказывать. Это случайные величины одной природы, потому что события происходят с независимой от номера испытания вероятностью. Так что значение $\xi_i$ не зависит от индекса, и они все одинаковы в том числе для индекса 1, где нулевым "успехом" считаем начало отсчёта времени. И для $\xi_0$ матожидание $\mathrm{E}\;\xi_0$ я, получается, посчитал в первом посте. В самом деле, всего лишь надо домножить на M выходит.

Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:50 


14/11/21
141
$N = \min\limits_{}\left\lbrace n: X_1+...+X_n=M\right\rbrace$ - время останова.
$P\left\lbrace X_n=1 \right\rbrace = \beta, P\left\lbrace X_n=0 \right\rbrace = 1-\beta$
$E\left\lbrace X_1 \right\rbrace = 1 \beta + 0(1-\beta)= \beta$

По определению времени останова: $\sum\limits_{i=1}^{N}X_n = M \Rightarrow $
$E\left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{N}X_n \right\rbrace = M$

$M=E\left\lbrace X_1 \right\rbrace E\left\lbrace N \right\rbrace = \beta E\left\lbrace N \right\rbrace \Rightarrow E\left\lbrace N \right\rbrace = M/\beta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение30.07.2024, 23:57 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Alex Krylov, тоже интересный взгляд на проблему. Само тождество Вальда не очевидно, хотя и логично. Не знал, возьму на заметку на будущее. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение31.07.2024, 00:18 


14/11/21
141
Похожая тема тут уже играла: https://dxdy.ru/post1636349.html#p1636349 Там приведены неплохие ссылки с примерами. В случае, когда $E\left\lbrace X_1 \right\rbrace=0$, чтобы получить $E\left\lbrace N \right\rbrace$, приходится дополнительно задействовать так называемое 2-е тождество Вальда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выполнение квоты на случайное событие
Сообщение31.07.2024, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Вы же не вероятность M событий после k испытаний желаете найти, а среднее число испытаний для получения M событий. Для одного среднее число испытаний Вы нашли. Два события произойдут, если сперва случится одно, а после него второе,

(Оффтоп)

(прапорщик Ясненько, придерживайте фуражку!)
то есть на первое нужно среднее время на один успех, а затем ещё раз среднее время на ещё один успех, и так далее до M успехов. Матожидание суммы равно сумме матожиданий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group