Выполнение квоты на случайное событие

[B@R5uk]

Вероятность случайного события $\beta$. Каково среднее количество N испытаний до наступления M событий?

Что-то не соображу даже с какой стороны подойти. В случае ожидания одного события всё просто: суммируем количество испытаний с вероятностным весом:

$$N=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\beta(1-\beta)^{k-1}=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\sum\limits_{k=1}^{\infty}(1-\beta)^k=-\beta\cdot\frac{d}{d\beta}\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\beta}$$

Не может же быть так просто, что надо теперь это на M помножить, чтобы получился результат? Вероятность получить M событий после k испытаний не будет такой простой штукой.

[Alex Krylov]

Первое тождество Вальда вроде должно помочь.

(Оффтоп)

$E\left\lbrace N \right\rbrace=M/\beta$

[mihaild]

Пусть $\xi_i$ - время между $i-1$-м и $i$-м успехами. Докажите, что они все одинаково распределены. А дальше нас интересует $E\sum\limits_{i=1}^M \xi_i$.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1647874 писал(а):

Докажите, что они все одинаково распределены.

Как-то не вижу что здесь доказывать. Это случайные величины одной природы, потому что события происходят с независимой от номера испытания вероятностью. Так что значение $\xi_i$ не зависит от индекса, и они все одинаковы в том числе для индекса 1, где нулевым "успехом" считаем начало отсчёта времени. И для $\xi_0$ матожидание $\mathrm{E}\;\xi_0$ я, получается, посчитал в первом посте. В самом деле, всего лишь надо домножить на M выходит.

Спасибо за помощь.

[Alex Krylov]

$N = \min\limits_{}\left\lbrace n: X_1+...+X_n=M\right\rbrace$ - время останова.
$P\left\lbrace X_n=1 \right\rbrace = \beta, P\left\lbrace X_n=0 \right\rbrace = 1-\beta$
$E\left\lbrace X_1 \right\rbrace = 1 \beta + 0(1-\beta)= \beta$

По определению времени останова: $\sum\limits_{i=1}^{N}X_n = M \Rightarrow $
$E\left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{N}X_n \right\rbrace = M$

$M=E\left\lbrace X_1 \right\rbrace E\left\lbrace N \right\rbrace = \beta E\left\lbrace N \right\rbrace \Rightarrow E\left\lbrace N \right\rbrace = M/\beta$

[B@R5uk]

Alex Krylov, тоже интересный взгляд на проблему. Само тождество Вальда не очевидно, хотя и логично. Не знал, возьму на заметку на будущее. Спасибо.

[Alex Krylov]

Похожая тема тут уже играла: https://dxdy.ru/post1636349.html#p1636349 Там приведены неплохие ссылки с примерами. В случае, когда $E\left\lbrace X_1 \right\rbrace=0$, чтобы получить $E\left\lbrace N \right\rbrace$, приходится дополнительно задействовать так называемое 2-е тождество Вальда.

[Евгений Машеров]

Вы же не вероятность M событий после k испытаний желаете найти, а среднее число испытаний для получения M событий. Для одного среднее число испытаний Вы нашли. Два события произойдут, если сперва случится одно, а после него второе,

(Оффтоп)

(прапорщик Ясненько, придерживайте фуражку!)

то есть на первое нужно среднее время на один успех, а затем ещё раз среднее время на ещё один успех, и так далее до M успехов. Матожидание суммы равно сумме матожиданий.