.
Cnupm, как Вы понимаете доказательство "не от противного"? Утверждение об иррациональности является утверждением о том, что число НЕ представляется конечной рациональной дробью, т.е. оно содержит отрицание.
eprosА вообще-то интересно.
ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
, не используя закон исключённого третьего.
А действительно, как?
С первого взгляда кажется, что непериодичность десятичной дроби прямым доказательством служить не может, ибо не избежать ссылки на периодичность рационального. Получается, что ссылка на определение рационального по любому необходима, а периодичность рационального - автоматически следует из определения.
Кстати, в книге Джона Дербишира "Простая одержимость" (изд. 2010 г.) на стр. 64 приводится доказательство иррациональности
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
, не использующее основную теорему арифметики, но всё равно от противного.
А ведь наверное, возможно прямое доказательство.
Я ещё не знаю, как оформить эту идею, но примерно так: последовательность рациональных дробей, приближающих значение
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
с возрастающей точностью. Что-то типа цепных дробей.
Я имею в виду вот что. Для рационального числа, начиная с какого-то шага, невозможно улучшить его рациональное приближение, т.к. приближение рационального числа — само это число.
Поэтому, если удастся доказать, что всякое рациональное приближение для
![$\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/71486f265f83bc1e3d2b6f67704bcc2382.png)
на любом шаге можно улучшить, это и будет прямым доказательством его иррациональности. Да ещё и конструктивным к тому же!
Или я неправ?
Повторяю, это всего лишь идея. В книгах вроде ничего подобного не было.