Корень из двух не от противного иррациональность

[Cnupm]

Как доказать? Разложение в бесконечную цепную дробь доказывает иррациональность?

[Утундрий]

Любое рациональное число раскладывается в конечную цепную дробь.

[Cnupm]

Бесконечная цепная дробь может сходиться к рациональному числу?

[epros]

Cnupm, как Вы понимаете доказательство "не от противного"? Утверждение об иррациональности является утверждением о том, что число НЕ представляется конечной рациональной дробью, т.е. оно содержит отрицание. А любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения. Тем не менее, это не называется доказательством "от противного".

[Gagarin1968]

.

epros в сообщении #1647393 писал(а):

Cnupm, как Вы понимаете доказательство "не от противного"? Утверждение об иррациональности является утверждением о том, что число НЕ представляется конечной рациональной дробью, т.е. оно содержит отрицание.

epros
А вообще-то интересно.
ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.
А действительно, как?
С первого взгляда кажется, что непериодичность десятичной дроби прямым доказательством служить не может, ибо не избежать ссылки на периодичность рационального. Получается, что ссылка на определение рационального по любому необходима, а периодичность рационального - автоматически следует из определения.
Кстати, в книге Джона Дербишира "Простая одержимость" (изд. 2010 г.) на стр. 64 приводится доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не использующее основную теорему арифметики, но всё равно от противного.
А ведь наверное, возможно прямое доказательство.
Я ещё не знаю, как оформить эту идею, но примерно так: последовательность рациональных дробей, приближающих значение $\sqrt{2}$ с возрастающей точностью. Что-то типа цепных дробей.
Я имею в виду вот что. Для рационального числа, начиная с какого-то шага, невозможно улучшить его рациональное приближение, т.к. приближение рационального числа — само это число.
Поэтому, если удастся доказать, что всякое рациональное приближение для $\sqrt{2}$ на любом шаге можно улучшить, это и будет прямым доказательством его иррациональности. Да ещё и конструктивным к тому же!
Или я неправ?
Повторяю, это всего лишь идея. В книгах вроде ничего подобного не было.

[Cnupm]

epros

Доказать, что десятичная дробь будет непериодичной. Число 2 представляется бесконечной цепной дробью как корень из 4. Так что бесконечность цепной дроби не значит отсутствие периода дроби десятичной.

[dgwuqtj]

Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):

ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.

Так обычное доказательство его и так не использует, оно вполне себе конструктивное (и не от противного). Используется такой факт: любое рациональное число представимо в виде $\frac p q$, где $\mathbb Z p + \mathbb Z q = \mathbb Z$.

-- 26.07.2024, 11:38 --

epros в сообщении #1647393 писал(а):

любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения.

Или от противного. Есть же теорема, что всё можно доказать от противного.

[Gagarin1968]

dgwuqtj в сообщении #1647397 писал(а):

Так обычное доказательство его и так не использует, оно вполне себе конструктивное (и не от противного)

dgwuqtj
Ну как же не использует. Даже в школьном учебние сначала предполагается, что $\sqrt{2}$ рационален, т.е. представим в виде $\dfrac {m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное.

[dgwuqtj]

Gagarin1968 в сообщении #1647399 писал(а):

сначала предполагается, что $\sqrt{2}$ рационален, т.е. представим в виде $\dfrac {m}{n}$, где $m$ — целое, а $n$ — натуральное.

Так там и доказывается, что $\neg \exists m n \ldots$. Такие вещи доказываются так: предполагаем, что числа существуют, и выводим противоречие. Это не доказательство от противного.

[epros]

dgwuqtj в сообщении #1647397 писал(а):

epros в сообщении #1647393 писал(а):

любое отрицание доказывается только сведением к противоречию соответствующего утверждения.

Или от противного. Есть же теорема, что всё можно доказать от противного.

Так любое доказательство от противного и есть сведение отрицания к противоречию. Просто таким образом конструктивно доказывается двойное отрицание, которое потом неконструктивно снимается. Если мы доказываем отрицание, то сводить утверждение к противоречию - это ещё не называется доказательством от противного. Хотя тут вопрос терминологический, поэтому я и спрашиваю топикстартера.

-- Пт июл 26, 2024 13:03:12 --

И он пока не ответил

[Утундрий]

Cnupm в сообщении #1647390 писал(а):

Бесконечная цепная дробь может сходиться к рациональному числу?

Бесконечная цепная дробь это одно число. Как число может куда-то сходиться или не сходиться? Число, если оно число, сидит на месте и никуда не ходит.

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):

Поэтому, если удастся доказать, что всякое рациональное приближение для $\sqrt{2}$ на любом шаге можно улучшить, это и будет прямым доказательством его иррациональности. Да ещё и конструктивным к тому же!

Рациональное приближение к любому числу (рациональному или иррациональному) можно улучшить.

[epros]

epros в сообщении #1647402 писал(а):

И он пока не ответил

Gagarin1968 в сообщении #1647395 писал(а):

ТС, очевидно, имеет в виду прямое доказательство иррациональности $\sqrt{2}$, не используя закон исключённого третьего.

Я так подозреваю, что топикстартер просто прочитал доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ в Википедии, где сказано, что это якобы "доказательство от противного". Но оно как раз закон исключённого третьего не использует и в этом смысле не является доказательством от противного.

[Gagarin1968]

epros в сообщении #1647407 писал(а):

Я так подозреваю, что топикстартер просто прочитал доказательство иррациональности $\sqrt{2}$ в Википедии, где сказано, что это якобы "доказательство от противного".

epros
Я всё-таки думаю, что ТС вот что имел в виду. В любом элементарном доказательстве иррациональности $\sqrt {2}$ используется неявно основная теорема арифметики, доказательство которой, кстати, совсем не так банально. И ТС подразумевал доказательство без использования основной теоремы арифметики, которая и предполагает доказательство от противного.
Но как можно говорить о взаимной простоте без опоры на однозначность разложения на простые множители?

[epros]

Gagarin1968, доказательство однозначной разложимости числа на простые множители может быть и не банально, но вполне конструктивно, т.е. на закон исключённого третьего не опирается. Грубо говоря, можно просто написать алгоритм, который это делает для любого числа.