Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвержления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом
![b_1 b_1](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/a/bda0411e4b6129d514dcbfa5810fb14a82.png)
и знаменателем q.
Тогда
![9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1} 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1}](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/1/0e1289e60ad831d74626e95c8040009f82.png)
,
откуда следует
или
![$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)} $(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)}](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/d/97d76b49c32dd66edaf34d14b740ce5e82.png)
,
Таким образом,
![$(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n} $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/5/2e5cfc44d4e940dcc1572b6d67d0e60882.png)
,
откуда
![$\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k} $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/7/2d712120e780afd2dca0482b798ea6a182.png)
Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.