Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр

[MathMem]

Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвержления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_1 и знаменателем q.
Тогда 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1},
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-k}
или
$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)},
Таким образом, $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n},
откуда $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}


Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- выпишите основные моменты решения непосредственно в пост, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Иначе пользователи не смогут цитировать формулы и комментировать их.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[mihaild]

Вы можете доказать, что если $9^a 10^b 11^c = 1$ для целых $a,b,c$, то $a=b=c=0$?

[waxtep]

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-k}$

В равенстве для $\frac{11}{10}$ явная опечатка, но дальше правильно.

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда $\dfrac{9^{m-n}}{11^{k-n}} = 10^{m-k}$

Может быть, станет понятнее, если немного переписать это равенство, избавиться в нем от дроби?