Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр

[MathMem]

Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвержления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_1 и знаменателем q.
Тогда 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1},
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-k}
или
$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)},
Таким образом, $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n},
откуда $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}


Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- выпишите основные моменты решения непосредственно в пост, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Иначе пользователи не смогут цитировать формулы и комментировать их.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[mihaild]

Вы можете доказать, что если $9^a 10^b 11^c = 1$ для целых $a,b,c$, то $a=b=c=0$?

[waxtep]

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-k}$

В равенстве для $\frac{11}{10}$ явная опечатка, но дальше правильно.

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда $\dfrac{9^{m-n}}{11^{k-n}} = 10^{m-k}$

Может быть, станет понятнее, если немного переписать это равенство, избавиться в нем от дроби?

[MathMem]

waxtep в сообщении #1647193 писал(а):

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-k}$

В равенстве для $\frac{11}{10}$ явная опечатка, но дальше правильно.

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

откуда $\dfrac{9^{m-n}}{11^{k-n}} = 10^{m-k}$

Может быть, станет понятнее, если немного переписать это равенство, избавиться в нем от дроби?

Опечатка... Да, с http://www.math.md/school/praktikum/progr/progr.html списала. Исправить исходное сообщение не могу, нет уже кнопки.



-- 29.07.2024, 23:40 --

Исправляю опечатку

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):

Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвердления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_1 и знаменателем q.
Тогда 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1},
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n}, \frac{11}{10} = q^{m-n}
или
$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)},
Таким образом, $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n},
откуда $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}


Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

[MathMem]

mihaild в сообщении #1647192 писал(а):

Вы можете доказать, что если $9^a 10^b 11^c = 1$ для целых $a,b,c$, то $a=b=c=0$?

В этом и задача.
Если a,b,c - натуральные, то левая часть кратна 3,11,10 => все числа натуральными быть не могут.
Если a,b,c - целые не положительные и не все равны 0, то левая часть меньше 1 => все числа a, b, c целыми не положительными и не равными 0 быть не могут.
=> a,b,c имеют разные знаки.

Далее сказать, что они взаимнопростые, и при наличии любой отрицательной степени не получится целого числа?

[mihaild]

Тут зависит от того, что про разложение на простые Вы знаете.
Кажется что самое простое - перенести отрицательные степени в правую часть, и сказать, что та часть, где нет девятки - не делится на три, значит $a = 0$. Аналогично с остальными.

[MathMem]

mihaild в сообщении #1647806 писал(а):

Тут зависит от того, что про разложение на простые Вы знаете.
Кажется что самое простое - перенести отрицательные степени в правую часть, и сказать, что та часть, где нет девятки - не делится на три, значит $a = 0$. Аналогично с остальными.

Все-таки есть привязка решения к конкретным числам. Могу немного покритиковать Problems.ru и другие ресурсы с этим разбором, приведенное ими решение не раскрывает этой зависимости, и для людей, основательно забывших математику, не очень полезно. А, кто математические навыки не потерял, тем простейшие выкладки с равенствами очевидны. Идея задачи в изучении делимости конкретных чисел. Спасибо! В сборнике устных задач мгу есть подобная с иными членами прогрессии без 10ки, попробую порассуждать на ней.

-- 01.08.2024, 23:09 --

Оффтоп: подскажите, где можно найти эпизодического репититора по математике, с которым можно консультироваться по надобности. Который помог бы восстановить навыки для решения определенных задачек по работе на уровне первого курса вышмата и мог бы подтолкнуть в решении задач, если я надолго застряла без каких-либо идей.

[Combat Zone]

Онтоп. Ну нарисуйте вместо 10 семерку, свет на десятке клином не сошелся.

[MathMem]

Ну да, любые взаимнопростые числа.

[nnosipov]

MathMem в сообщении #1648719 писал(а):

Ну да, любые взаимнопростые числа.

Например $4$, $10$, $25$. Здесь нужно выразиться аккуратнее: попарно взаимно простые числа.