2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение22.07.2024, 17:57 


22/07/24
6
Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвержления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_1 и знаменателем q.
Тогда 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1},
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n},       \frac{11}{10} = q^{m-k}
или
$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)},
Таким образом, $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n},
откуда $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}


Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.07.2024, 18:06 
Админ форума


02/02/19
2522
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- выпишите основные моменты решения непосредственно в пост, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы). Иначе пользователи не смогут цитировать формулы и комментировать их.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.07.2024, 00:10 
Админ форума


02/02/19
2522
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение24.07.2024, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Вы можете доказать, что если $9^a 10^b 11^c = 1$ для целых $a,b,c$, то $a=b=c=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение24.07.2024, 00:46 
Аватара пользователя


07/01/16
1612
Аязьма
MathMem в сообщении #1647094 писал(а):
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n},       \frac{11}{10} = q^{m-k}$
В равенстве для $\frac{11}{10}$ явная опечатка, но дальше правильно.
MathMem в сообщении #1647094 писал(а):
откуда $\dfrac{9^{m-n}}{11^{k-n}} = 10^{m-k}$
Может быть, станет понятнее, если немного переписать это равенство, избавиться в нем от дроби?

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение29.07.2024, 23:32 


22/07/24
6
waxtep в сообщении #1647193 писал(а):
MathMem в сообщении #1647094 писал(а):
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n},       \frac{11}{10} = q^{m-k}$
В равенстве для $\frac{11}{10}$ явная опечатка, но дальше правильно.
MathMem в сообщении #1647094 писал(а):
откуда $\dfrac{9^{m-n}}{11^{k-n}} = 10^{m-k}$
Может быть, станет понятнее, если немного переписать это равенство, избавиться в нем от дроби?


Опечатка... Да, с http://www.math.md/school/praktikum/progr/progr.html списала. Исправить исходное сообщение не могу, нет уже кнопки.



-- 29.07.2024, 23:40 --

Исправляю опечатку

MathMem в сообщении #1647094 писал(а):
Прочла решение, каким образом из итогового соотношения понятно, что равенство невозможно, я не понимаю. На какие утвердления опирается полученное противоречие? Помогите разобраться!
Задача с Problems.ru
Переписываю сюда.
Условие: доказать, что числа 9, 10, 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.
Предложенное доказательство: 9
Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_1 и знаменателем q.
Тогда 9=b_1q^{k-1}, 10 = b_1q^{n-1}, 11 = b_1q^{m-1},
откуда следует $\frac{9}{10}=q^{k-n},       \frac{11}{10} = q^{m-n}
или
$(\frac{9}{10})^{m-n} = q^{(m-n)(k-n)}, (\frac{11}{10})^{k-n} = q^{(m-n)(k-n)},
Таким образом, $(\frac{9}{10})^{m-n} = (\frac{11}{10})^{k-n},
откуда $\dfrac{9^m^-^n}}{11^k^-^n}$ = 10^{m-k}


Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение30.07.2024, 00:49 


22/07/24
6
mihaild в сообщении #1647192 писал(а):
Вы можете доказать, что если $9^a 10^b 11^c = 1$ для целых $a,b,c$, то $a=b=c=0$?

В этом и задача.
Если a,b,c - натуральные, то левая часть кратна 3,11,10 => все числа натуральными быть не могут.
Если a,b,c - целые не положительные и не все равны 0, то левая часть меньше 1 => все числа a, b, c целыми не положительными и не равными 0 быть не могут.
=> a,b,c имеют разные знаки.

Далее сказать, что они взаимнопростые, и при наличии любой отрицательной степени не получится целого числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение30.07.2024, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Тут зависит от того, что про разложение на простые Вы знаете.
Кажется что самое простое - перенести отрицательные степени в правую часть, и сказать, что та часть, где нет девятки - не делится на три, значит $a = 0$. Аналогично с остальными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение01.08.2024, 23:05 


22/07/24
6
mihaild в сообщении #1647806 писал(а):
Тут зависит от того, что про разложение на простые Вы знаете.
Кажется что самое простое - перенести отрицательные степени в правую часть, и сказать, что та часть, где нет девятки - не делится на три, значит $a = 0$. Аналогично с остальными.


Все-таки есть привязка решения к конкретным числам. Могу немного покритиковать Problems.ru и другие ресурсы с этим разбором, приведенное ими решение не раскрывает этой зависимости, и для людей, основательно забывших математику, не очень полезно. А, кто математические навыки не потерял, тем простейшие выкладки с равенствами очевидны. Идея задачи в изучении делимости конкретных чисел. Спасибо! В сборнике устных задач мгу есть подобная с иными членами прогрессии без 10ки, попробую порассуждать на ней.

-- 01.08.2024, 23:09 --

Оффтоп: подскажите, где можно найти эпизодического репититора по математике, с которым можно консультироваться по надобности. Который помог бы восстановить навыки для решения определенных задачек по работе на уровне первого курса вышмата и мог бы подтолкнуть в решении задач, если я надолго застряла без каких-либо идей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение01.08.2024, 23:12 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Онтоп. Ну нарисуйте вместо 10 семерку, свет на десятке клином не сошелся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение07.08.2024, 01:31 


22/07/24
6
Ну да, любые взаимнопростые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Могут ли числа 9,10,11 быть членами одной геометрической пр
Сообщение07.08.2024, 05:48 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
MathMem в сообщении #1648719 писал(а):
Ну да, любые взаимнопростые числа.
Например $4$, $10$, $25$. Здесь нужно выразиться аккуратнее: попарно взаимно простые числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group