fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное


» »


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
  Печатать страницу | Печатать всю тему Пред. тема | След. тема 
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение24.07.2023, 23:24 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Случайно наткнулся на компактное представление: $$\langle\;a,\;b\;|\;a^2=b^2,\;(ab)^{2}=I\;\rangle$$ для группы $\mathbb Z_8\rtimes\mathbb Z_2$, которая не группа $\mathbb Z_8\rtimes\mathbb Z_2=D_{16}$ и не группа $\mathbb Z_8\rtimes\mathbb Z_2=Q_8\rtimes\mathbb Z_2$.

Доказательство наличия элемента 8-го порядка:
abab I
aabab a
aababb ab
aabaaa ab
aabbba ab
aaaaba ab
aaaabaa aba
aaaabbb aba
aaaaaab aba
aaaaaabb abab
aaaaaaaa I

-- 24.07.2023, 23:32 --

У меня тут появилась гипотеза: конечные абелевы группы невозможно представить компактно, то есть меньшим числом соотношений, чем величина $r(r+1)/2$, где r — ранк группы.
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение10.07.2024, 09:29 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Ещё одна группа в копилочку групп с компактным представлением: $$G_{57}^1=\mathbb{Z}_{19}\rtimes\mathbb{Z}_3=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{19}=b^3=I,\;ba=a^7b\right\rangle=\left\langle\;a,\;b\;|\;(ab)^3=I,\;ba^3=a^2b\right\rangle$$ Здесь даже образующие одни и те же, то есть левые и правые наборы соотношений можно друг в друга преобразовать.

В качестве доказательства оставлю под катом две простыни, выданных программой для каждого сета.

(Оффтоп)
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение14.07.2024, 11:47 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Давно уже у меня в закромах имеется представление группы QD16 двумя соотношениями, сейчас нашёл ещё одно: $$G_{16}^8=QD16=\mathbb{Z}_8\rtimes\mathbb{Z}_2=Q_8\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b\;|\;b^2=I,\;bab=a^3\right\rangle=\left\langle\;a,\;b\;|\;(a^2b)^2=I,\;ab=ba^3\right\rangle$$ Образующие общие (a — порядка 8), одно из другого выводится.

А если взять по одному соотношению из каждой пары, то получится группа 48-го порядка, но я пока не знаю, какая (не составлял полный список для этого порядка): $$G_{48}=\left\langle\;a,\;b\;|\;(a^2b)^2=I,\;bab=a^3\right\rangle$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение16.07.2024, 11:58 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа 126-го порядка: $$G_{126}=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^3=I,\;bab^2a=ab\right\rangle$$ Элемент b имеет 6-й порядок, bab — 21-й порядок, а элемент aba — 14-й. Содержит подгруппу $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$, которая получается добавлением соотношения: $$b^3=I$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение27.07.2024, 13:47 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Эта группа 126-го порядка на самом деле полупрямое произведение: $$G_{126}=\mathbb{Z}_{21}\overset{2}{\rtimes}\mathbb{Z}_6=\left\langle\;c,\;d\;|\;c^{21}=d^6=I,\;dc=c^2d\;\right\rangle$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение29.07.2024, 21:32 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Очередной образчик группы с двумя соотношениями. Я походу дела кучу других нашёл, большего (кратного) размера, но искал я соотношения именно для этой группы: $$\mathbb{Z}_{13}\overset{5}{\rtimes}\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{13}=b^4=I,\;ab=ba^5\;\right\rangle=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^3b=ba^2,\;b^3ab=a^5\;\right\rangle$$ Образующие одни и те же. То есть одно из другого и наоборот должно получаться. Второе соотношение во втором наборе получается из второго и третьего соотношений первого набора очевидным образом, а с остальными надо повозиться.

-- 29.07.2024, 22:31 --

ОК, в обратную сторону. Нашёл красивый вывод. Берём второе соотношение, домножаем его спереди на 9-ю степень a и применяем первое соотношение в прямую сторону до упора, вторая степень a сократится сзади: $$a^{14}=a^9b^3ab=b^2ab^2a^2$$ $$a^{12}=b^2ab^2$$ Домножаем спереди на b подставляем второе выражение: $$ba^{12}=b^3ab^2=a^5b$$ Применяем первое соотношение справа в обратную сторону один раз, а слева — в прямую сторону почти по упора, потом сокращаем: $$a^{15}ba^2=a^2ba^2$$ $$a^{13}=I$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение29.07.2024, 23:06 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
К левой части равенства применяем первое соотношение, получаем правую часть равенства $$b^5a^4=a^{27}b^3ab^2$$ Тут степени работают так: первое (обменное) соотношение при прогоне b заменяет 2-ю степень a справа на 3-ю степень слева. После двух прогонов получается: $$4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2=9$$ Отщепляется одна степень a и делается прогон остальных трёх степеней b: $$(9-1)\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^3=27$$ Теперь подставляем в правую часть второе соотношение и делаем обратный прогон на два шага (отнимается 6 степеней, возвращается — 4-ре): $$b^5a^4=a^{32}b=a^{26}ba^4$$ Сокращаем, применяем полученное выше выражение для a: $$b^4=a^{26}=I$$

-- 29.07.2024, 23:40 --

Теперь я целую серию групп нащупал. Дициклические группы (нижний индекс у Q — порядок группы): $$Q_{4n}=\left\langle\;c,\;d\;|\;c^{n-1}=dcd,\;cdc=d\;\right\rangle$$ В частности: $$Q_8=\left\langle\;c,\;d\;|\;dcd=c,\;cdc=d\;\right\rangle$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение30.07.2024, 09:15 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
На самом деле это те же самые образующие, что и в каноническом представлении: $$Q_{4n}=\left\langle\;a,\;x\;|\;a^{2n}=I,\;a^n=x^2,\;x^{-1}ax=a^{-1}\;\right\rangle=\left\langle\;a,\;x\;|\;a^{n-1}=xax,\;axa=x\;\right\rangle$$ Доказательство в обратную сторону. С последним соотношением всё понятно в обоих случаях это одно и то же, только справа оно переписано без отрицательных степеней. Остальные два: $$a^n=(a^{n-1})a=(xax)a=x(axa)=x^2$$ $$x^4a^n=x(x^2)xa^n=xa^nxa^n=xa^{n-1}(axa)a^{n-1}=xa^{n-1}xa^{n-1}=\ldots=x^2=a^n$$ $$a^{2n}=x^4=I$$

-- 30.07.2024, 09:22 --

Интересно ещё заметить, что отталкиваясь от первого соотношения в правом задании по индукции можно получить: $$xa^mx=a^{n-m}$$ $$xa^{m+1}xa=xa^m(axa)=xa^mx=a^{n-m}$$ $$xa^{m+1}x=a^{n-(m+1)}$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение04.08.2024, 18:59 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа $$\mathbb{Z}_5\overset{2}{\rtimes}\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^5=b^4=I,\;ab=ba^2\;\right\rangle$$ имеет целую кучу компактных представлений. Некоторые из них: $$\mathbb{Z}_5\overset{2}{\rtimes}\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;(ab)^2=b^2a,\;b^3ab=a^2\;|\;(ab)^2=b^2a,\;b^2ab^2=a^4\;|\;ab=ba^2,\;bab^3=a^3\;\right\rangle$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение18.08.2024, 10:14 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа $$\mathrm{Q}_{28}=\left\langle\;a,\;x\;|\;a^{14}=I,\;a^7=x^2,\;axa=x\;\right\rangle$$ которая в то же время является полупрямым произведением $$\mathrm{Q}_{28}\simeq\mathbb{Z}_7\overset{6}{\rtimes}\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^7=b^4=I,\;ba=a^6b\;\right\rangle$$ может быть задана такими парами соотношений (малые степени расписаны в виде произведения для наглядности): $$baaaa=aaab,\;\;\;\;\,babbb=a^6$$ $$aaaab=baaa,\;\;\;\;\,babbb=a^6$$ $$baaaa=aaab,\;\;\,baabbb=a^5$$ $$aaaab=baaa,\;\;\,baabbb=a^5$$ $$baaaa=aaab,\;baaabbb=a^4$$ В этих парах первое соотношение является обменным соотношением ${}_{{}_{{}_.}}ba=a^6b$, переписанным с учётом ${}_{{}_{{}_.}}a^7=I$, а второе (для первых двух пар) — с учётом ${}_{{}_{{}_.}}b^4=I$ При всём при этом, аналогичное соотношение из этой же серии $$aaaab=baaa,\;baaabbb=a^4$$ задаёт группу 700-го порядка: $$\mathbb{Z}_{175}\overset{118}{\rtimes}\mathbb{Z}_4=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{175}=b^4=I,\;ba=a^{118}b\;\right\rangle\simeq\mathbb{Z}_{25}\rtimes\mathrm{Q}_{28}$$ Интересно, почему так получается?
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение21.08.2024, 18:41 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа $\mathrm{Q}_8\times\mathbb{Z}_3$ (которая по-другому не факторизуется) имеет следующие два кратких представления: $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^2=b^2,\;ba=a^7b\;\right\rangle$$ $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^6=b^2,\;aba=b\;\right\rangle$$ В первом образующие a и b имеют порядок 12, а во втором — порядок 12 и 4 соответственно.

При этом численный эксперимент утверждает, что соотношения $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^2=b^2,\;ba=a^{4l+3}b\;\right\rangle$$ $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{4l+2}=b^2,\;aba=b\;\right\rangle$$ задают группу $\mathrm{Q}_8\times\mathbb{Z}_{2l+1}$ (с нулевым параметром получается просто $\mathrm{Q}_8$), а соотношения $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^2=b^2,\;ba=a^{4l+1}b\;\right\rangle$$ $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^{4l}=b^2,\;aba=b\;\right\rangle$$ задают некоторую разновидность $\mathbb{Z}_{8l}\rtimes\mathbb{Z}_2$, которая, как правило, имеет несколько других факторизаций. Надо бы это как-то строго доказать, за одно найти обменную степень полупрямого произведения во втором случае.
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение08.09.2024, 11:08 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа $$\mathrm{D}_{14}\times\mathbb{Z}_3=\mathbb{Z}_{21}\overset{13}{\rtimes}\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}_{7}\overset{6}{\rtimes}\mathbb{Z}_6$$ имеет задание $$\left\langle\;a,\;b\;|\;ba^2b=a^5,\;b^2=I\;\right\rangle$$ Сведение ко второй форме: $$ba^5=a^2b$$ $$a^{25}=b^2a^{25}=ba^2ba^{20}=\ldots=ba^{10}b=a^2ba^5b=a^4b^2=a^4$$ $$a^{21}=I$$ $$b=a^2ba^{16}=a^4ba^{11}=\ldots=a^6ba$$ $$ba=a^{13}b$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение04.10.2024, 15:18 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Группа $$\mathbb{Z}_{3}\rtimes\mathbb{Z}_8$$ кроме краткого задания в образующих 3-8: $$\left\langle\;a,\;b\;|\;bab^7=a^2,\;ab=ba^2\;\right\rangle$$ имеет ещё краткое задание в образующих 12-8: $$\left\langle\;c,\;d\;|\;c^{12}=I,\;c^3=d^2,\;cd=dc^5\;\right\rangle$$ где первое соотношение не нужно (выводится из следующих двух; отправная точка — третья степень d). В результате получается целая серия коротких заданий: $$\mathbb{Z}_{3}\rtimes\mathbb{Z}_8=\left\langle\;c,\;d\;|\;c^3=d^2,\;R\;\right\rangle$$ где R — одно из следующих соотношений: $$cd=dc^5,\quad cdc=d^5,\quad dc=c^2d^3,\quad c^2dc^2=d,\quad dcd^4=cdc^2$$ И даже такое задание тоже работает для этой группы в этих же образующих: $$\mathbb{Z}_{3}\rtimes\mathbb{Z}_8=\left\langle\;c,\;d\;|\;c^2dcd^2=dc^2,\;dcd^4=cdc^2\;\right\rangle$$
 Профиль  
                  
B@R5uk 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение13.12.2024, 10:22 
Аватара пользователя


26/05/12
1831
приходит весна?
Обнаружил тут, что семейство групп вида $$\left\langle\;a,\;b\;|\;a^n=b^2,\;(ab)^2=I\;\right\rangle$$ даёт интересную простую последовательность полупрямых произведений циклических групп, где коэффициенты довольно легко угадываются:

код: [ скачать ] [ спрятать ] [ выделить ] [ развернуть ]
Используется синтаксис Text
a^n = b^m, (ab)^2 = I

n       m       Order   Group
2       2       16      Z8   #5   Z2
4       2       48      Z24  #19  Z2 = (Z8 #3 Z2) x Z3 = Z8 #3 Z6 = ...
6       2       96      Z48  #41  Z2 = Z16 # D6 = Z3 # (Z16 #9 Z2) = (Z3 #2 Z16) # Z2
8       2       160     Z80  #71  Z2 = (Z16 #7 Z2) x Z5 = Z16 #7 Z10 = ...
10      2       240     Z120 #109 Z2 = Z24 # D10 = Z40 #29 Z6 = (Z40 #29 Z2) x Z3 = ...
12      2       336     Z168 #155 Z2 = (Z24 #11 Z2) x Z7 = Z24 #11 Z14 = ...
14      2       448     Z224 #209 Z2 = Z32 # D14 = (Z7 #6 Z32) # Z2 = ...
16      2       576     Z288 #271 Z2 = (Z32 #15 Z2) x Z9 = Z32 #15 Z18 = ...
18      2       720     Z360 #341 Z2 = Z40 # D18 = Z72 #53 Z10 = (Z72 #53 Z2) x Z5 = ...
20      2       880     Z440 #419 Z2 = (Z40 #19 Z2) x Z11 = Z40 #19 Z22 = ...

3       2       30      Z3  #2  Z10 = D6  x Z5  = Z15  #11  Z2
5       2       70      Z5  #4  Z14 = D10 x Z7  = Z35  #29  Z2
7       2       126     Z7  #6  Z18 = D14 x Z9  = Z63  #55  Z2
9       2       198     Z9  #8  Z22 = D18 x Z11 = Z99  #89  Z2
11      2       286     Z11 #10 Z26 = D22 x Z13 = Z143 #131 Z2
13      2       390     Z13 #12 Z30 = D26 x Z15 = Z195 #181 Z2 = ...
15      2       510     Z15 #14 Z34 = D30 x Z17 = Z255 #239 Z2 = ...

3       3       96      N # Z3, N = (Z8 x Z2) # Z2 = (Z8 #5 Z2) # Z2
4       3       288     H x Z7 = N # Z2 = Q8 # (D6 x Z7) = 2T # Z14 = (Q8 x Z7) # D6
                        H = Q8 # D6 = 2T # Z2, N = 2T x Z7 = Q8 # Z21
5       3       1920    No semiproducts
6       3       too big
4       4       too big
 

Здесь x означает прямое произведение, # — полупрямое, и Zn #k Zm — это, как обычно, полупрямое произведение циклов с обменной степенью, указанной числом посередине: $$\mathbb{Z}_n\overset{k}{\rtimes}\mathbb{Z}_m=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^n=b^m=I,\;ba=a^kb\;\right\rangle$$

Интересно, можно ли это как-нибудь строго доказать? И для $m=3$ из таблички, будут ли следующие группы конечными? Моя программка не нашла решения, но это означает лишь двойственность: либо группа слишком большая, либо бесконечная.
 Профиль  
                  
dgwuqtj 
 Re: Все различные способы задать группу
Сообщение13.12.2024, 13:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1412
В вашей группе выполнено тождество $b a = a^{-1 - n} b$ (если упростить $a b a = b^{-1} = a^{-n} b$), с его помощью можно избавиться от второго соотношения. Первое соотношение перепишем в виде $a^{-n} b^2 = 1$ и $1 = b^2 a^{-n} = a^{-n (1 + n)^2} b^2$. Поэтому $a^{n^2 (n + 2)} = 1$ и $b^{2 n (n + 2)} = 1$, так что группа конечная (порядка не больше $2 n^3 (n + 2)^2$).
 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  Страница 2 из 3
  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Список форумов » Математика » Помогите решить / разобраться (М)


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group