Все различные способы задать группу

[B@R5uk]

Ну, вопрос конечности меня больше интересовал для случая

$$n,\;m\ge 3$$

$$G=\left\langle\;a,\;b\;|\;a^n=b^m,\;(ab)^2=I\;\right\rangle$$

Тогда G будет либо очень большой, либо бесконечной. В случае m=2 из таблички очевидно, что

$$|G|=2n(n+2)$$

Я тут покрутил соотношения и заметил, что можно сделать замену

$$ab=c$$

после которой всё становится прозрачно:

$$c^2=I$$

$$b=a^{-1}c$$

$$a^{n+1}=ab^2=ca^{-1}c$$

$$a^{-n-1}=cac$$

$$ca=a^{-n-1}c$$

$$ca^{-1}=a^{n+1}c$$

$$a=c^2a=ca^{-n-1}c=a^{(n+1)^2}c^2=a^{(n+1)^2}$$

$$a^{n(n+2)}=I$$

То есть образующая a имеет порядок не более

$$n(n+2)$$

А поскольку образующая c имеет порядок 2 и с образующей a имеет обменное соотношение:

$$cac^{-1}=a^{n^2+n-1}$$

То искомая группа G по крайней мере является фактор-группой одной из нормальных подгрупп группы

$$\mathbb{Z}_{n(n+2)}\overset{n^2+n-1}{\rtimes}\mathbb{Z}_2$$

Численный эксперимент показывает:

Используется синтаксис Text

n       |G|     a       b       aabb    baab
2       16      8       8       2       2
3       30      15      10      3       3
4       48      24      12      4       4
5       70      35      14      5       5
6       96      48      16      6       6
7       126     63      18      7       7
8       160     80      20      8       8
9       198     99      22      9       9
 

...что группа G является фактор-группой по тривиальной подгруппе (из нейтрального элемента), и образующая a действительно имеет порядок как указано выше, а не, например, в 3 раза меньший, когда один из сомножителей в формуле делится на 3. Как это доказать строго (в смысле, что нет меньшей степени a, равной нейтральному элементу) я ума не приложу.