2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 09:08 


17/10/16
4759
Mihr
Да. Если число уравнений становится меньше числа неизвестных (скажем, одно уравнение на две переменные), появляется бесконечно много решений (недоопределенная система уравнений). Нельзя просто отбрасывать уравнения, каждый знак "$=$" - это некоторое ограничение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в ноль, есть решение уравнения, а когда не обращается - не есть решение. Но сумма уравнений может обратиться в ноль и без того, чтобы в ноль обращалось каждое, для двух это будет, если при данных значениях уравнения были равны двум по абсолютной величине равным, но с разными знаками. В данном случае при $x=0$ первое уравнение (правую часть перенесём для единообразия налево) равно y, а второв $-y$, так что их сумма при произвольных y равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 10:54 


05/09/16
12038
Mihr в сообщении #1644577 писал(а):
где одно из уравнений получается сложением исходных уравнений системы,

не просто сложением, а "нетривиальной линейной комбинацией", но эт канеш не школьное уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
einy в сообщении #1644562 писал(а):
Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

А про какой учебник речь идёт? Если взять стандартный школьный учебник для 7-го класса Мордковича, то там такая терминология не употребляется и неуместна (ИМХО). Учебник написан для среднестатистического российского школьника. Вряд ли он в 7-мм классе (а это возраст 12-13 лет) поймёт такую терминологию.

Более того, системы нелинейных уравнений в этом учебнике вообще не рассматриваются. Если есть интерес к этому, то возьмите учебник для более старшего класса. Либо пособие для абитуриентов.

В учебнике Мордковича рассматриваются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Причём рассматриваются на начальном интуитивном уровне (в виде рецептов) без должного обоснования. Например, сложим (вычтем) два уравнения. Одно неизвестное исчезнет. Найдём второе и подставим его в одно из начальных уравнений. Оно всё правильно. Только почему это правильно и почему это работает не объясняется. И считать, что такой рецепт подойдёт как универсальный для систем нелинейных уравнений, было бы глупо.
einy в сообщении #1644550 писал(а):
имеет три очевидных решения: $(0;0), (\frac 1 3;\frac 1 2), (-\frac 1 3;-\frac 1 2)$

И как получены эти три "очевидных" решения. Я решал примерно так. От исходной системе перешёл к новой , в которой первое уравнение будет суммой исходной системы. А второе уравнение - разностью. И хорошо бы понять, что это равносильный переход. В полученной системе каждое уравнение разлагается на два множителя. Далее нужно понять что наша система равносильна совокупности четырёх простейших систем, каждая из которых легко решается. Это я всё к чему, что надо не просто методы из учебника применять, но и понимать, когда они работают и почему. И тогда вопрос, вынесенный в первый пост, не должен возникнуть.
мат-ламер в сообщении #1644572 писал(а):
Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

Mihr в сообщении #1644577 писал(а):
Нет, конечно, так не пишут.

Я имел в виду не то, что пишут при решении подобного типа систем в учебнике для 7-го класса (там вообще такие системы не рассматриваются), а вообще, какой язык уместен в таких учебниках. Например, в учебнике Мерзляка (стр.19) как раз что-то похожее - в конце необходимо проверить, удовлетворяет ли полученное решение смыслу задачи или нет (правда для одного уравнения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 12:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
мат-ламер в сообщении #1644684 писал(а):
А про какой учебник речь идёт? Если взять стандартный школьный учебник для 7-го класса Мордковича, то там такая терминология не употребляется и неуместна (ИМХО).
Я думаю, что равносильные и неравносильные переходы - это вообще чуть ли не самое главное в школьном курсе алгебры. Без понимания этого алгебра превращается в сборник непонятных и запутанных рецептов, что очень плохо. Терминология и степень строгости может быть разной, но сам принцип объяснять необходимо - и чем раньше, тем лучше.

Мне нравится вот этот ролик на данную тему: https://youtu.be/3Rr9DiE923E?si=an4eOom7nky6W__q

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 15:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Mikhail_K в сообщении #1644696 писал(а):
Мне нравится вот этот ролик на данную тему: https://youtu.be/3Rr9DiE923E?si=an4eOom7nky6W__q

С точки зрения идеи - ролик очень интересный. А вот детали мне кажутся сомнительными. Итак, речь идёт о равносильных переходах. На 7:55 он решает уравнение вида $\sqrt{f(x)}=B$ . Говорит - будем избавляться от корня - возведём обе части уравнения в квадрат - получим уравнение $f(x)=B^2$ (опечатку исправил). На 8:14 он решает уравнение вида $A/f(x)=B$ . Говорит - будем умножением избавляться от деления - получаем уравнение $A=Bf(x)$ . На 10:37 он решает уравнение $(x-2)(x-3)=x-3$ . Как правильно надо решать такое уравнение, он не говорит. По итогу (на 11:06 в самой нижней строчке) он получает два решения $x=2$ и $x=3$ . О стандартном школьном методе (перенос в одну сторону, разложение на множители) он высказывается скептически (если я его правильно понял). Хотя такой метод сводит исходное уравнение к следующему $(x-3)^2=0$ с понятно каким ответом.

А с основной идеей ролика - желательно понимать, что делаешь - я полностью согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
мат-ламер в сообщении #1644720 писал(а):
На 7:55 он решает уравнение вида $\sqrt{f(x)}=B$ . Говорит - будем избавляться от корня - возведём обе части уравнения в квадрат - получим уравнение $f^2(x)=B^2$ .
Не $f^2(x)=B^2$, а $f(x)=B^2$. И понятно, что тут есть нюанс. Но он разъясняется дальше, в разделе "Вторая ловушка. Лишние корни".
мат-ламер в сообщении #1644720 писал(а):
На 8:14 он решает уравнение вида $A/f(x)=B$ . Говорит - будем умножением избавляться от деления - получаем уравнение $A=Bf(x)$ . На 10:37 он решает уравнение $(x-2)(x-3)=x-3$ . Как правильно надо решать такое уравнение, он не говорит.
Ну да, эти разделы - вовсе не руководство по решению уравнений. Сначала делаются какие-то рассуждения с намеренно допущенными в них пробелами, затем в конце эти пробелы обсуждаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Mikhail_K в сообщении #1644696 писал(а):
Я думаю, что равносильные и неравносильные переходы - это вообще чуть ли не самое главное в школьном курсе алгебры. Без понимания этого алгебра превращается в сборник непонятных и запутанных рецептов, что очень плохо. Терминология и степень строгости может быть разной, но сам принцип объяснять необходимо - и чем раньше, тем лучше.

В этом я с вами полностью согласен. Я за идею. Но у меня в этой теме есть претензии к ТС на счёт терминологии. Он пишет:
einy в сообщении #1644562 писал(а):
сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс.

Что вообще означает эта фраза - "сложение уравнений это неравносильный переход"? От чего к чему мы тут вообще переходим? Причём в учебнике используют именно сложение уравнений (причём также не поясняя, от чего к чему переходим (имеется в виду учебник Мордковича). Получается, что в учебнике используется неравносильный переход? И тут вообще возникает вопрос - а что вообще ТС вынес из этой темы?

-- Вт июл 02, 2024 15:23:05 --

Mikhail_K в сообщении #1644722 писал(а):
Не $f^2(x)=B^2$, а $f(x)=B^2$

Извиняюсь, у меня опечатка. Я всё же свой пост, пока есть время, исправлю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
мат-ламер в сообщении #1644723 писал(а):
Что вообще означает эта фраза - "сложение уравнений это неравносильный переход"? От чего к чему мы тут вообще переходим?
От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме. ТС в первом сообщении темы пытался сделать именно так. Наверняка, ТС просто неправильно понял сказанное в учебнике. Затем он написал, что понял бы лучше, если бы в учебнике объяснялось про равносильные и неравносильные переходы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Mikhail_K в сообщении #1644724 писал(а):
От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме.

Я это понимаю. Вопрос в том, понял ли это ТС? А то, может он понял, что вообще сложение уравнений - действие сомнительное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение02.07.2024, 20:22 


14/11/21
141
Тут можно еще упомянуть понятие идеала в кольце многочленов. У нас есть два многочлена $3x^2y-2x+y$ и $2xy^2-y+x$ (над полем вещественных чисел). Эти два многочлена порождают идеал $I=(3x^2y-2x+y, 2xy^2-y+x)$, т.е. совокупность всех многочленов вида $Q(x,y)(3x^2y-2x+y)+P(x,y)(2xy^2-y+x)$, где $Q(x,y), P(x,y)$ - любые многочлены с вещественными коэффициентами.
Если выполняется система
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
3x^2y-2x+y=0\\
2xy^2-y+x=0\\
\end{array}
\right.$$
то любой многочлен из идеала $I$ также зануляется, т.е. имеет место отношение $\Rightarrow$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение03.07.2024, 23:44 


30/06/24
5
мат-ламер в сообщении #1644726 писал(а):
Mikhail_K в сообщении #1644724 писал(а):
От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме.

Я это понимаю. Вопрос в том, понял ли это ТС? А то, может он понял, что вообще сложение уравнений - действие сомнительное?


Я понял, что переход от системы к одному уравнению-сумме неравносилен, а вот переход от изначальной системы к системе, в которой одно уравнение было бы из "старой" системы, а другое было бы уравнением-суммой, был бы равносилен.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group