2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:24 


30/06/24
5
Дано: система$$
\begin{cases}
3x^2y=2x-y\\
2xy^2=y-x
\end{cases}
$$
имеет три очевидных решения: $(0;0), (\frac 1 3;\frac 1 2), (-\frac 1 3;-\frac 1 2)$. Однако уравнение - сумма этих двух уравнений: $3x^2y+2xy^2=x$ имеет также решение:
$$\begin{cases}
x = 0\\
y \in \mathbb{R}
\end{cases}$$
Скажите, как конъюнкция двух множеств решений может содержать элементы, не принадлежащие ни одному из этих двух множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:38 


10/03/16
4444
Aeroport
einy складывая два уравнения, мы получаем конъюнкцию множеств их решений. Нуок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:38 


17/10/16
4758
einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:43 
Админ форума


02/02/19
2470
 i  einy
Не надо руками ставить тег math, тем более - на весь текст. Ставьте доллары вокруг формул, теги система поставит сама. Поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:47 


30/06/24
5
sergey zhukov в сообщении #1644553 писал(а):
einy
Последнее решение найдено делением на ноль.

Я на ноль не делил - о последнем решении я догадался, затем я подставил это решение в однострочное уравнение-"сумму", и это уравнение обратилось в верное тождество. Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
einy в сообщении #1644555 писал(а):
Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:01 


30/06/24
5
Mihr в сообщении #1644556 писал(а):
einy в сообщении #1644555 писал(а):
Значит, то, о чем я догадался - решение, я неправ?

Это решение "уравнения-суммы", но не решение исходной системы уравнений.


Мне кажется, я догадался: сложение уравнений дает не равносильное системе уравнение, а лишь следствие из нее, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:33 


10/03/16
4444
Aeroport
einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 22:41 


30/06/24
5
ozheredov в сообщении #1644561 писал(а):
einy

$x + y = 3, x - y = 1$ имеет единственное решение; сумма имеет решение $x = 2$, $y$ - любое. Мне просто реально интересно, каким образом Вы пришли к тому, что сумма уравнений даёт конъюнкцию их решений. Ну хотя бы дизъюнкцию, я б ещё понял - объединение даёт сумма индикаторных функций.


Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение30.06.2024, 23:17 


10/03/16
4444
Aeroport
einy в сообщении #1644562 писал(а):
Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.


Так я об этом же ) Никто ничего писать не будет - до всего надо доходить методом проб и ошибок. Гипотеза у Вас была вполне здравая: уравнение => множество решений, операции над уравнениями => операции над множествами решений. Но вот как что конкретно работает, надо пробовать самим на простейших примерах. Ну, как мне кажется :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 00:10 


05/09/16
12038
einy

Изображение
Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
wrest
Если через какую-то точку проходят и красная, и зелёная кривая, через ту же точку должна проходить и синяя кривая. Следовательно, по крайней мере один из графиков ошибочный.

(Оффтоп)

Древнее искусство, которое пытался применить автор темы, существует. Но мы тщательно охраняем его секреты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 02:35 


05/09/16
12038
svv
Спасибо! Ошибочный был синий.
Правильные графики:
Изображение
Красным и зеленым -- графики двух уравнений системы.
Синим - график их суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
einy в сообщении #1644562 писал(а):
Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

Видимо для седьмого класса такая терминология (неравносильный переход) будет сложновата (если говорить о среднестатистическом школьнике). Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение
Сообщение01.07.2024, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
мат-ламер в сообщении #1644572 писал(а):
Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

Нет, конечно, так не пишут. Потому что невозможно выполнить проверку для бесконечного множества посторонних пар значений $(x;y)$. Пишут, что систему из двух уравнений можно заменить новой системой, где одно из уравнений получается сложением исходных уравнений системы, а в качестве второго можно взять любое из двух уравнений исходной системы. (Во всяком случае, когда я учился в школе, нам объясняли так).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group