Школьная система уравнений - "пролезает" постороннее решение

[sergey zhukov]

Mihr
Да. Если число уравнений становится меньше числа неизвестных (скажем, одно уравнение на две переменные), появляется бесконечно много решений (недоопределенная система уравнений). Нельзя просто отбрасывать уравнения, каждый знак "$=$" - это некоторое ограничение.

[Евгений Машеров]

Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в ноль, есть решение уравнения, а когда не обращается - не есть решение. Но сумма уравнений может обратиться в ноль и без того, чтобы в ноль обращалось каждое, для двух это будет, если при данных значениях уравнения были равны двум по абсолютной величине равным, но с разными знаками. В данном случае при $x=0$ первое уравнение (правую часть перенесём для единообразия налево) равно y, а второв $-y$, так что их сумма при произвольных y равна нулю.

[wrest]

Mihr в сообщении #1644577 писал(а):

где одно из уравнений получается сложением исходных уравнений системы,

не просто сложением, а "нетривиальной линейной комбинацией", но эт канеш не школьное уже.

[мат-ламер]

einy в сообщении #1644562 писал(а):

Да, уже очевидно, что я неправ((( сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс. А не только сам метод излагали.

А про какой учебник речь идёт? Если взять стандартный школьный учебник для 7-го класса Мордковича, то там такая терминология не употребляется и неуместна (ИМХО). Учебник написан для среднестатистического российского школьника. Вряд ли он в 7-мм классе (а это возраст 12-13 лет) поймёт такую терминологию.

Более того, системы нелинейных уравнений в этом учебнике вообще не рассматриваются. Если есть интерес к этому, то возьмите учебник для более старшего класса. Либо пособие для абитуриентов.

В учебнике Мордковича рассматриваются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Причём рассматриваются на начальном интуитивном уровне (в виде рецептов) без должного обоснования. Например, сложим (вычтем) два уравнения. Одно неизвестное исчезнет. Найдём второе и подставим его в одно из начальных уравнений. Оно всё правильно. Только почему это правильно и почему это работает не объясняется. И считать, что такой рецепт подойдёт как универсальный для систем нелинейных уравнений, было бы глупо.

einy в сообщении #1644550 писал(а):

имеет три очевидных решения: $(0;0), (\frac 1 3;\frac 1 2), (-\frac 1 3;-\frac 1 2)$

И как получены эти три "очевидных" решения. Я решал примерно так. От исходной системе перешёл к новой , в которой первое уравнение будет суммой исходной системы. А второе уравнение - разностью. И хорошо бы понять, что это равносильный переход. В полученной системе каждое уравнение разлагается на два множителя. Далее нужно понять что наша система равносильна совокупности четырёх простейших систем, каждая из которых легко решается. Это я всё к чему, что надо не просто методы из учебника применять, но и понимать, когда они работают и почему. И тогда вопрос, вынесенный в первый пост, не должен возникнуть.

мат-ламер в сообщении #1644572 писал(а):

Поэтому на таком уровне пишут проще - типа, надо в конце проверить, а не появились ли посторонние корни?

Mihr в сообщении #1644577 писал(а):

Нет, конечно, так не пишут.

Я имел в виду не то, что пишут при решении подобного типа систем в учебнике для 7-го класса (там вообще такие системы не рассматриваются), а вообще, какой язык уместен в таких учебниках. Например, в учебнике Мерзляка (стр.19) как раз что-то похожее - в конце необходимо проверить, удовлетворяет ли полученное решение смыслу задачи или нет (правда для одного уравнения).

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1644684 писал(а):

А про какой учебник речь идёт? Если взять стандартный школьный учебник для 7-го класса Мордковича, то там такая терминология не употребляется и неуместна (ИМХО).

Я думаю, что равносильные и неравносильные переходы - это вообще чуть ли не самое главное в школьном курсе алгебры. Без понимания этого алгебра превращается в сборник непонятных и запутанных рецептов, что очень плохо. Терминология и степень строгости может быть разной, но сам принцип объяснять необходимо - и чем раньше, тем лучше.

Мне нравится вот этот ролик на данную тему: https://youtu.be/3Rr9DiE923E?si=an4eOom7nky6W__q

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1644696 писал(а):

Мне нравится вот этот ролик на данную тему: https://youtu.be/3Rr9DiE923E?si=an4eOom7nky6W__q

С точки зрения идеи - ролик очень интересный. А вот детали мне кажутся сомнительными. Итак, речь идёт о равносильных переходах. На 7:55 он решает уравнение вида $\sqrt{f(x)}=B$ . Говорит - будем избавляться от корня - возведём обе части уравнения в квадрат - получим уравнение $f(x)=B^2$ (опечатку исправил). На 8:14 он решает уравнение вида $A/f(x)=B$ . Говорит - будем умножением избавляться от деления - получаем уравнение $A=Bf(x)$ . На 10:37 он решает уравнение $(x-2)(x-3)=x-3$ . Как правильно надо решать такое уравнение, он не говорит. По итогу (на 11:06 в самой нижней строчке) он получает два решения $x=2$ и $x=3$ . О стандартном школьном методе (перенос в одну сторону, разложение на множители) он высказывается скептически (если я его правильно понял). Хотя такой метод сводит исходное уравнение к следующему $(x-3)^2=0$ с понятно каким ответом.

А с основной идеей ролика - желательно понимать, что делаешь - я полностью согласен.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1644720 писал(а):

На 7:55 он решает уравнение вида $\sqrt{f(x)}=B$ . Говорит - будем избавляться от корня - возведём обе части уравнения в квадрат - получим уравнение $f^2(x)=B^2$ .

Не $f^2(x)=B^2$, а $f(x)=B^2$. И понятно, что тут есть нюанс. Но он разъясняется дальше, в разделе "Вторая ловушка. Лишние корни".

мат-ламер в сообщении #1644720 писал(а):

На 8:14 он решает уравнение вида $A/f(x)=B$ . Говорит - будем умножением избавляться от деления - получаем уравнение $A=Bf(x)$ . На 10:37 он решает уравнение $(x-2)(x-3)=x-3$ . Как правильно надо решать такое уравнение, он не говорит.

Ну да, эти разделы - вовсе не руководство по решению уравнений. Сначала делаются какие-то рассуждения с намеренно допущенными в них пробелами, затем в конце эти пробелы обсуждаются.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1644696 писал(а):

Я думаю, что равносильные и неравносильные переходы - это вообще чуть ли не самое главное в школьном курсе алгебры. Без понимания этого алгебра превращается в сборник непонятных и запутанных рецептов, что очень плохо. Терминология и степень строгости может быть разной, но сам принцип объяснять необходимо - и чем раньше, тем лучше.

В этом я с вами полностью согласен. Я за идею. Но у меня в этой теме есть претензии к ТС на счёт терминологии. Он пишет:

einy в сообщении #1644562 писал(а):

сложение уравнений это неравносильный переход. Вот бы еще это писали в школьных учебниках за 7-й класс.

Что вообще означает эта фраза - "сложение уравнений это неравносильный переход"? От чего к чему мы тут вообще переходим? Причём в учебнике используют именно сложение уравнений (причём также не поясняя, от чего к чему переходим (имеется в виду учебник Мордковича). Получается, что в учебнике используется неравносильный переход? И тут вообще возникает вопрос - а что вообще ТС вынес из этой темы?

-- Вт июл 02, 2024 15:23:05 --

Mikhail_K в сообщении #1644722 писал(а):

Не $f^2(x)=B^2$, а $f(x)=B^2$

Извиняюсь, у меня опечатка. Я всё же свой пост, пока есть время, исправлю.

[Mikhail_K]

мат-ламер в сообщении #1644723 писал(а):

Что вообще означает эта фраза - "сложение уравнений это неравносильный переход"? От чего к чему мы тут вообще переходим?

От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме. ТС в первом сообщении темы пытался сделать именно так. Наверняка, ТС просто неправильно понял сказанное в учебнике. Затем он написал, что понял бы лучше, если бы в учебнике объяснялось про равносильные и неравносильные переходы.

[мат-ламер]

Mikhail_K в сообщении #1644724 писал(а):

От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме.

Я это понимаю. Вопрос в том, понял ли это ТС? А то, может он понял, что вообще сложение уравнений - действие сомнительное?

[Alex Krylov]

Тут можно еще упомянуть понятие идеала в кольце многочленов. У нас есть два многочлена $3x^2y-2x+y$ и $2xy^2-y+x$ (над полем вещественных чисел). Эти два многочлена порождают идеал $I=(3x^2y-2x+y, 2xy^2-y+x)$, т.е. совокупность всех многочленов вида $Q(x,y)(3x^2y-2x+y)+P(x,y)(2xy^2-y+x)$, где $Q(x,y), P(x,y)$ - любые многочлены с вещественными коэффициентами.
Если выполняется система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 3x^2y-2x+y=0\\ 2xy^2-y+x=0\\ \end{array} \right.$$

то любой многочлен из идеала $I$ также зануляется, т.е. имеет место отношение $\Rightarrow$.

[einy]

мат-ламер в сообщении #1644726 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1644724 писал(а):

От системы из двух уравнений к одному уравнению - их сумме.

Я это понимаю. Вопрос в том, понял ли это ТС? А то, может он понял, что вообще сложение уравнений - действие сомнительное?

Я понял, что переход от системы к одному уравнению-сумме неравносилен, а вот переход от изначальной системы к системе, в которой одно уравнение было бы из "старой" системы, а другое было бы уравнением-суммой, был бы равносилен.