И снова третий ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ!!!!!

[reterty]

Придумал на свою голову новую задачу: два шарика массами $m$ каждый связаны упругой безмассовой пружинкой жесткостью $k$. Такая система может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности без трения в одном направлении (скажем, $x$). Требуется определить все три первых интеграла движения. Априорно можно утверждать что такими интегралами движения будут: полная механическая энергия системы; суммарный импульс шариков (другими словами, скорость движения центра масс системы) и что-то еще, что мы собираемся найти.

Поскольку в результате своих расчетов я получил бред, то буду для упрощения внешней проверки выкладывать мои вычисления кусками. Итак, пусть при движении системы координата второго шарика будет в любой момент времени больше координаты первого шарика: $x_2>x_1$ (условимся так считать). Будем также полагать длину пружины в недеформированном состоянии равной $l$. Тогда Гамильтониан системы примет вид:

$$ \mathcal{H}=\dfrac{m}{2}\left( \dot{x}_1 ^2 +\dot{x}_2 ^2\right)+\dfrac{k}{2}\left( x_2- x_1-l\right)^2=\rm const .$$

Пока все верно?

[drzewo]

переменные разделяются в координатах $X=x_2-x_1-l,\quad Y=x_1+x_2$
скучно.

-- 28.06.2024, 17:18 --

гамильтониан, кстати, зависит от импульсов , а не от скоростей

[reterty]

drzewo в сообщении #1644326 писал(а):

переменные разделяются в координатах $X=x_2-x_1-l,\quad Y=x_1+x_2$
скучно.

-- 28.06.2024, 17:18 --

гамильтониан, кстати, зависит от импульсов , а не от скоростей

Поскольку массы шариков одинаковы, я легко могу перейти к приведенной форме Гамильтониана, зависящего уже от скоростей. А переход к новым координатам интересный.

[drzewo]

reterty в сообщении #1644328 писал(а):

Поскольку массы шариков одинаковы, я легко могу перейти к приведенной форме Гамильтониана, зависящего уже от скоростей

гамильтониан зависит от импульсов по определению, и массы тут ни при чем

reterty в сообщении #1644328 писал(а):

А переход к новым координатам интересный.

совершенно неинтересный, но на ваш вопрос про дополнительный первый интеграл отвечает

[reterty]

Агамсь, поскольку сохраняется не только импульс системы но и ее кинетическая энергия (взаимодействие шариков через пружину абсолютно упругое) то дополнительным интегралом движения будет призведение мгновенных скоростей шаров.

[drzewo]

ну проверьте теперь вашу догадку, продифференцируйте функцию в силу системы

[reterty]

По совету drzewo, записываю Гамильтониан в новых переменных:

$$ \mathcal{H}=\dfrac{p_{X}^2+p_{Y}^2}{4m}+\dfrac{kX^2}{2}.$$

Вычисляю теперь скобку Пуассона и приравниваю ее к нулю:

$$\lbrace f, \mathcal{H}\rbrace=\dfrac{p_X}{2m}\dfrac{\partial f}{\partial X}-kX\dfrac{\partial f}{\partial p_X}+\dfrac{p_Y}{2m}\dfrac{\partial f}{\partial Y}=0.$$

Далее можно выписать уравнения характеристик:

$$ \dfrac{{\rm d}X}{p_X/2m}=\dfrac{{\rm d}Y}{p_Y/2m}=-\dfrac{{\rm d}p_X}{kX}$$

Интересующим нас решением этой системы ОДУ (третьим первым интегралом) будет:

$$f_3= \dfrac{p_X p_Y}{2m}+kXY$$

. Для проверки правильности нахождения этого интеграла движения вычисляю скобку Пуассона:

$$ \lbrace f_3, \mathcal{H}\rbrace= \dfrac{kYp_X}{2m}.......$$

А должен был получиться нуль!?? Помогите найти ошибку!

[drzewo]

Вам надо освоить освоить разделение переменных в гамильтониане и в уравнении Гамильтона-Якоби. Метод характеристик тоже желательно изучить в не столь архаичной версии

[reterty]

drzewo в сообщении #1644738 писал(а):

Вам надо освоить освоить разделение переменных в гамильтониане и в уравнении Гамильтона-Якоби. Метод характеристик тоже желательно изучить в не столь архаичной версии

Подскажите, все же, где в моих вычислениях ошибка? Я ее не вижу!

[reterty]

Вся надежда у меня осталась на уважаемого svv!

[drzewo]

reterty в сообщении #1644741 писал(а):

Подскажите, все же, где в моих вычислениях ошибка? Я ее не вижу!

а я, вот, не буду играть по вашим правилам

[reterty]

drzewo в сообщении #1644755 писал(а):

reterty в сообщении #1644741 писал(а):

Подскажите, все же, где в моих вычислениях ошибка? Я ее не вижу!

а я, вот, не буду играть по вашим правилам

Вы уж простите меня великодушно, но это значит что Вы слабый педагог. Поскольку мне уже 50 лет и я - кандидат физико-математических наук а не 20-летний юнец-второгодник.

[drzewo]

reterty в сообщении #1644757 писал(а):

Вы уж простите меня великодушно, но это значит что Вы слабый педагог.

Я может и слабый педагог, но достаточно опытный, поэтому и говорю, что по вашим правилам играть не буду. Если появятся вопросы по книжкам с удовольствием помогу.

[pppppppo_98]

reterty в сообщении #1644757 писал(а):

. Поскольку мне уже 50 лет и я - кандидат физико-математических наук а не 20-летний юнец-второгодник.

(Оффтоп)

да уж... а в мою бытность в 19 или 20 лет учили метод характеристик, причем сдавали пот ом и на письменном и на устном экзамене по урматам и теормеху, с отчислением в случае несдачи... и было мне тогда менее 20... а тут вона как...

первых два интеграла будет энергия по 1 степени свободы и импульс по 2 степени свободы, а для третьего первого интеграла вам нужно решить динамические уравнения , выразить время через вторую координату и импульс, подставить это все в динамическое выражение 1 степени свободы. из него найти выражение для константы интегрирования - это и будет ваш 3 первый интеграл

[reterty]

pppppppo_98 в сообщении #1644776 писал(а):

reterty в сообщении #1644757 писал(а):

. Поскольку мне уже 50 лет и я - кандидат физико-математических наук а не 20-летний юнец-второгодник.

(Оффтоп)

да уж... а в мою бытность в 19 или 20 лет учили метод характеристик, причем сдавали пот ом и на письменном и на устном экзамене по урматам и теормеху, с отчислением в случае несдачи... и было мне тогда менее 20... а тут вона как...

Вы, простите, можете указать на ошибку в моих вычислениях?
P.S. У меня была совершенно иная программа и я являюсь специалистом в другой области.