Придумал на свою голову новую задачу: два шарика массами
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
каждый связаны упругой безмассовой пружинкой жесткостью
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. Такая система может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности без трения в одном направлении (скажем,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
). Требуется определить все три первых интеграла движения. Априорно можно утверждать что такими интегралами движения будут: полная механическая энергия системы; суммарный импульс шариков (другими словами, скорость движения центра масс системы) и что-то еще, что мы собираемся найти.
Поскольку в результате своих расчетов я получил бред, то буду для упрощения внешней проверки выкладывать мои вычисления кусками. Итак, пусть при движении системы координата второго шарика будет в любой момент времени больше координаты первого шарика:
![$x_2>x_1$ $x_2>x_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/2/8b2064a3aa17b307117deead1a0677ed82.png)
(условимся так считать). Будем также полагать длину пружины в недеформированном состоянии равной
![$l$ $l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/2/2f2322dff5bde89c37bcae4116fe20a882.png)
. Тогда Гамильтониан системы примет вид:
![$$ \mathcal{H}=\dfrac{m}{2}\left( \dot{x}_1 ^2 +\dot{x}_2 ^2\right)+\dfrac{k}{2}\left( x_2- x_1-l\right)^2=\rm const .$$ $$ \mathcal{H}=\dfrac{m}{2}\left( \dot{x}_1 ^2 +\dot{x}_2 ^2\right)+\dfrac{k}{2}\left( x_2- x_1-l\right)^2=\rm const .$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/9241745b046b26aaa7f456225f0cb60d82.png)
Пока все верно?