Задача на колебания из Савченко

[Mathew Rogan]

Найти массу тела, связанного через упругую подставку жёсткости $k$ и массы $m$ с жёстким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $ \omega$.

Задача выглядит интересно, но совершенно не понимаю, с какой стороны к ней подступиться, с чего начать. Частота колебаний тела вроде бы должна определяться по обычной формуле пружинного маятника, но что делать с массой самой пружины?

Ответ должен быть такой: $ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$.

[svv]

Mathew Rogan
У меня сошлось с ответом, я составил и решил дифференциальное уравнение. Координата $x$, в направлении которой происходят колебания, — лагранжева (жёстко связана с "веществом" подставки). На полу $x=0$, на верху подставки $x=h$. Вводим $F(x,t)$ — это сила, с которой часть системы выше $x$ действует на часть системы ниже $x$. Вводим $q(x,t)$ — смещение частички подставки с координатой $x$ относительно положения равновесия. Смещения считаем малыми. Для любой точки подставки выполняются
$F=ES\frac{\partial q}{\partial x}$ — закон Гука в дифференциальной форме
$\frac{\partial F}{\partial x}-\rho g=\rho\frac{\partial ^2q}{\partial t^2}$ — второй закон Ньютона в дифференциальной форме
Здесь $\rho=\frac{dm}{dx}=\frac{m}{h}$ — линейная плотность подставки, $E$ модуль Юнга, $S$ площадь подставки. Сразу заменим $ES=kh$.
Краевые условия:
$q(0,t)=0$
$-F(h,t)-Mg=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q(h,t)$ — второй закон Ньютона для тела $M$.
(по нашему соглашению $F(h,t)$ — это сила, с которой тело действует на верхний край подставки, поэтому при ней минус)

От необходимости учёта сил тяжести легко избавиться заменой переменных.
Рассмотрите гармонический режим колебаний, при котором $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$. Комплексные амплитуды зависят от одной независимой переменной $x$ и удовлетворяют простому уравнению вида $q''+\varkappa^2 q=0$.

[Mathew Rogan]

svv
Огромное спасибо, только сейчас дошли руки сесть и разобраться.

Всё получилось, но только для случая, когда силы тяжести не учитываются. В противном случае такой простой ответ не получается. Мне кажется, в задаче молчаливо предполагается, что силами тяжести можно пренебречь по сравнению с силами упругости.

[svv]

Mathew Rogan
Я мог Вас сбить с толку фразой (в таком случае приношу извинения):

svv в сообщении #1641900 писал(а):

Вводим $q(x,t)$ — смещение частички подставки с координатой $x$ относительно положения равновесия.

Имелось в виду — относительно недеформированного состояния. То есть когда подставка лежит на полу, не колеблется, на неё не давит сверху тело и не действует сила тяжести — такое состояние принимаем за счастье $q=0$.

Теперь «включим» силу тяжести — подставка просядет. Кладём сверху тело массой $M$ — подставка ещё больше просядет. Колебаний пусть пока нет. В такой ситуации обозначим смещение и силу механического напряжения в подставке через $q_0$ и $F_0$ — это функции $x$. Они удовлетворяют ДУ
$F_0=ES\frac{\partial q_0}{\partial x}$
$\frac{\partial F_0}{\partial x}-\rho g=0$
и краевым условиям
$q_0(0)=0$
$-F_0(h)-Mg=0$

Эти уравнения можно решить, хотя для основной задачи это не требуется:
$q_0(x)=\left(-(M+m)x+\frac 1 2\rho x^2\right)\frac{g}{kh}$
$F_0(x)=\left(-(M+m)+\rho x\right)g$
Видно, что всюду присутствует множитель $g$. Т.е. $q_0$ и $F_0$ — это «бяка», которую надо вычесть.

С этой целью, сделаем в исходных уравнениях (и краевых условиях) замену
$q=q_0+q_1,\;F=F_0+F_1$
(при упрощении пользуемся только уравнениями для $q_0,F_0$, а не их решениями). Получим уравнения для новых хороших переменных $q_1, F_1$, в которые $g$ уже не входит:
$\begin{array}{l}F_1=ES\frac{\partial q_1}{\partial x}\\\frac{\partial F_1}{\partial x}=\rho\frac{\partial ^2 q_1}{\partial t^2}\\q_1(0,t)=0\\-F_1(h,t)=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q_1(h,t)\end{array}$
__________________

А ещё хочу задать Вам вопрос «на засыпку»:

Mathew Rogan в сообщении #1641886 писал(а):

если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $ \omega$.

Где в решении используется, что именно первая?

[EUgeneUS]

ИМХО, то, что для продольных колебаний в однородном гравитационном поле, можно считать колебания относительно положения равновесия в поле тяжести, и при этом поле тяжести в решение водить не будет - общеизвестный факт.
Странно, что он вызвал затруднения у ТС.

[Mathew Rogan]

svv в сообщении #1643825 писал(а):

Mathew Rogan
Где в решении используется, что именно первая?

Мы считаем, что $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$, а не $\frac{d^2}{dt^2}=-(2\omega)^2$, $\frac{d^2}{dt^2}=-(3\omega)^2$ и т.д.

[svv]

EUgeneUS, согласен.

Mathew Rogan, нет.
Во-первых, не факт, что в такой сложной системе резонансные частоты будут кратны основной частоте.
Во-вторых, я имел в виду: что будет, если из условия убрать слово "первая". Считаем, что происходят гармонические колебания на некоторой частоте $\omega$, она может быть хоть 17-й резонансной — это неизвестно. При этом каждая частичка подставки совершает колебания по закону $Ae^{i\omega t}$, где $A(x)$ комплексная амплитуда. Таким образом, $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$.
Сама зависимость $A(x)$ определяется модой колебаний и будет, конечно, различной для 1-й и 17-й резонансной частоты. Но мы не знаем, какая у нас мода.

Так что интересный вопрос остаётся, с не менее интересным ответом. Допустим, при заданной $M$ надо было бы найти, какие вообще резонансные частоты здесь существуют. Для этого не надо никаких дополнительных формул, лишь иначе посмотреть на уже полученные.

[Mathew Rogan]

Не понимаю.

[svv]

Тот факт, что значение $\omega$ относится именно к первой резонансной частоте, в решении нигде не используется. И в условии слово "первая" лишнее.

Представьте, что в лаборатории стоит конкретная подставка с грузом, с определёнными параметрами $M,m,k$ и бесконечной последовательностью резонансных частот $\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...$. Преподавателю известны все эти числа. Но Вам он сообщает лишь $m,k$ и $\omega_3$ (только её значение, не говоря, что эта резонансная частота именно третья). И просит найти $M$. Вы подставляете эти числа в формулу
$ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$
и находите $M$. Так вот, если преподаватель вместо значения $\omega_3$ даст Вам значение $\omega_{17}$, Вы получите то же самое значение $M$. Удивительно?

(Объяснение)

Потому что на формулу
$ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$
можно смотреть как на уравнение относительно $\omega$ при известных $M,m,k$, определяющее резонансные частоты системы. Оно имеет бесконечное число корней $\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...$. Любой корень — соответствующая резонансная частота. Подставив любую из них в правую часть, Вы, конечно, получите одно и то же $M$.

Например, пусть для той конкретной подставки $M=m=1, k=1$ (в какой-то системе единиц). Подставив это в формулу, получим уравнение
$\frac{\ctg\omega}{\omega}=1,$
определяющее резонансные частоты системы. Оно имеет бесконечное множество решений
$\begin{array}{l}\omega_1=0.86033358901938...\\ \omega_2=3.42561845948173...$\\ \omega_3=6.43729817917195...$\\ \omega_4=9.52933440536196...$\\...\end{array}$
(а также полученные из них сменой знака, они нас сейчас не интересуют). Понятно, что, подставив в исходную формулу $k=m=1$ и любое из этих решений в качестве $\omega$, мы получим верный ответ $M=1$.

[Mathew Rogan]

svv
Спасибо за объяснение.