Mathew RoganУ меня сошлось с ответом, я составил и решил дифференциальное уравнение. Координата
, в направлении которой происходят колебания, — лагранжева (жёстко связана с "веществом" подставки). На полу
, на верху подставки
. Вводим
— это сила, с которой часть системы выше
действует на часть системы ниже
. Вводим
— смещение частички подставки с координатой
относительно положения равновесия. Смещения считаем малыми. Для любой точки подставки выполняются
— закон Гука в дифференциальной форме
— второй закон Ньютона в дифференциальной форме
Здесь
— линейная плотность подставки,
модуль Юнга,
площадь подставки. Сразу заменим
.
Краевые условия:
— второй закон Ньютона для тела
.
(по нашему соглашению
— это сила, с которой тело действует на верхний край подставки, поэтому при ней минус)
От необходимости учёта сил тяжести легко избавиться заменой переменных.
Рассмотрите гармонический режим колебаний, при котором
. Комплексные амплитуды зависят от одной независимой переменной
и удовлетворяют простому уравнению вида
.