Mathew RoganУ меня сошлось с ответом, я составил и решил дифференциальное уравнение. Координата
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, в направлении которой происходят колебания, — лагранжева (жёстко связана с "веществом" подставки). На полу
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
, на верху подставки
![$x=h$ $x=h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/4/ed430783238f9815769bb52139c7e62f82.png)
. Вводим
![$F(x,t)$ $F(x,t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/0/c5065d60d65eeb5b901615abd9ce112882.png)
— это сила, с которой часть системы выше
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
действует на часть системы ниже
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Вводим
![$q(x,t)$ $q(x,t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/1/1c1234bab9a0971ca47482c25920fffe82.png)
— смещение частички подставки с координатой
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
относительно положения равновесия. Смещения считаем малыми. Для любой точки подставки выполняются
![$F=ES\frac{\partial q}{\partial x}$ $F=ES\frac{\partial q}{\partial x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/2/d0231f60062573a46ce0ac7ba7b953ca82.png)
— закон Гука в дифференциальной форме
![$\frac{\partial F}{\partial x}-\rho g=\rho\frac{\partial ^2q}{\partial t^2}$ $\frac{\partial F}{\partial x}-\rho g=\rho\frac{\partial ^2q}{\partial t^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/7/f371300c18c1e2366878e15e44b0573082.png)
— второй закон Ньютона в дифференциальной форме
Здесь
![$\rho=\frac{dm}{dx}=\frac{m}{h}$ $\rho=\frac{dm}{dx}=\frac{m}{h}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/e/b3e122892792e37f82a2335188c6c5a482.png)
— линейная плотность подставки,
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
модуль Юнга,
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
площадь подставки. Сразу заменим
![$ES=kh$ $ES=kh$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/2/c728c74a9ce9136e79c2dfcd988ae89982.png)
.
Краевые условия:
![$q(0,t)=0$ $q(0,t)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/1/881fc291e8fe654c6027e4d0638c016282.png)
![$-F(h,t)-Mg=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q(h,t)$ $-F(h,t)-Mg=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q(h,t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/1/cd1e7185a340da3d47de6baa775d4d3c82.png)
— второй закон Ньютона для тела
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
.
(по нашему соглашению
![$F(h,t)$ $F(h,t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/2/c0212261ff961ac656a9c4ae4ed43a1682.png)
— это сила, с которой тело действует на верхний край подставки, поэтому при ней минус)
От необходимости учёта сил тяжести легко избавиться заменой переменных.
Рассмотрите гармонический режим колебаний, при котором
![$\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$ $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/c/83cfdc94863ef9cb12f170c425375e1882.png)
. Комплексные амплитуды зависят от одной независимой переменной
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и удовлетворяют простому уравнению вида
![$q''+\varkappa^2 q=0$ $q''+\varkappa^2 q=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/1/de1ddf84f081737a4808431d29d0cf2982.png)
.