2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на колебания из Савченко
Сообщение09.06.2024, 10:28 


26/04/14
121
Найти массу тела, связанного через упругую подставку жёсткости $k$ и массы $m$ с жёстким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $ \omega$.

Задача выглядит интересно, но совершенно не понимаю, с какой стороны к ней подступиться, с чего начать. Частота колебаний тела вроде бы должна определяться по обычной формуле пружинного маятника, но что делать с массой самой пружины?

Ответ должен быть такой: $ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение09.06.2024, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Mathew Rogan
У меня сошлось с ответом, я составил и решил дифференциальное уравнение. Координата $x$, в направлении которой происходят колебания, — лагранжева (жёстко связана с "веществом" подставки). На полу $x=0$, на верху подставки $x=h$. Вводим $F(x,t)$ — это сила, с которой часть системы выше $x$ действует на часть системы ниже $x$. Вводим $q(x,t)$ — смещение частички подставки с координатой $x$ относительно положения равновесия. Смещения считаем малыми. Для любой точки подставки выполняются
$F=ES\frac{\partial q}{\partial x}$ — закон Гука в дифференциальной форме
$\frac{\partial F}{\partial x}-\rho g=\rho\frac{\partial ^2q}{\partial t^2}$ — второй закон Ньютона в дифференциальной форме
Здесь $\rho=\frac{dm}{dx}=\frac{m}{h}$ — линейная плотность подставки, $E$ модуль Юнга, $S$ площадь подставки. Сразу заменим $ES=kh$.
Краевые условия:
$q(0,t)=0$
$-F(h,t)-Mg=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q(h,t)$ — второй закон Ньютона для тела $M$.
(по нашему соглашению $F(h,t)$ — это сила, с которой тело действует на верхний край подставки, поэтому при ней минус)

От необходимости учёта сил тяжести легко избавиться заменой переменных.
Рассмотрите гармонический режим колебаний, при котором $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$. Комплексные амплитуды зависят от одной независимой переменной $x$ и удовлетворяют простому уравнению вида $q''+\varkappa^2 q=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение23.06.2024, 17:53 


26/04/14
121
svv
Огромное спасибо, только сейчас дошли руки сесть и разобраться.

Всё получилось, но только для случая, когда силы тяжести не учитываются. В противном случае такой простой ответ не получается. Мне кажется, в задаче молчаливо предполагается, что силами тяжести можно пренебречь по сравнению с силами упругости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение24.06.2024, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Mathew Rogan
Я мог Вас сбить с толку фразой (в таком случае приношу извинения):
svv в сообщении #1641900 писал(а):
Вводим $q(x,t)$ — смещение частички подставки с координатой $x$ относительно положения равновесия.
Имелось в виду — относительно недеформированного состояния. То есть когда подставка лежит на полу, не колеблется, на неё не давит сверху тело и не действует сила тяжести — такое состояние принимаем за счастье $q=0$.

Теперь «включим» силу тяжести — подставка просядет. Кладём сверху тело массой $M$ — подставка ещё больше просядет. Колебаний пусть пока нет. В такой ситуации обозначим смещение и силу механического напряжения в подставке через $q_0$ и $F_0$ — это функции $x$. Они удовлетворяют ДУ
$F_0=ES\frac{\partial q_0}{\partial x}$
$\frac{\partial F_0}{\partial x}-\rho g=0$
и краевым условиям
$q_0(0)=0$
$-F_0(h)-Mg=0$

Эти уравнения можно решить, хотя для основной задачи это не требуется:
$q_0(x)=\left(-(M+m)x+\frac 1 2\rho x^2\right)\frac{g}{kh}$
$F_0(x)=\left(-(M+m)+\rho x\right)g$
Видно, что всюду присутствует множитель $g$. Т.е. $q_0$ и $F_0$ — это «бяка», которую надо вычесть.

С этой целью, сделаем в исходных уравнениях (и краевых условиях) замену
$q=q_0+q_1,\;F=F_0+F_1$
(при упрощении пользуемся только уравнениями для $q_0,F_0$, а не их решениями). Получим уравнения для новых хороших переменных $q_1, F_1$, в которые $g$ уже не входит:
$\begin{array}{l}F_1=ES\frac{\partial q_1}{\partial x}\\\frac{\partial F_1}{\partial x}=\rho\frac{\partial ^2 q_1}{\partial t^2}\\q_1(0,t)=0\\-F_1(h,t)=M\frac{\partial^2}{\partial t^2}q_1(h,t)\end{array}$
__________________

А ещё хочу задать Вам вопрос «на засыпку»:
Mathew Rogan в сообщении #1641886 писал(а):
если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна $ \omega$.
Где в решении используется, что именно первая? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение24.06.2024, 08:26 
Аватара пользователя


11/12/16
14035
уездный город Н
ИМХО, то, что для продольных колебаний в однородном гравитационном поле, можно считать колебания относительно положения равновесия в поле тяжести, и при этом поле тяжести в решение водить не будет - общеизвестный факт.
Странно, что он вызвал затруднения у ТС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение24.06.2024, 08:27 


26/04/14
121
svv в сообщении #1643825 писал(а):
Mathew Rogan
Где в решении используется, что именно первая? :wink:

Мы считаем, что $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$, а не $\frac{d^2}{dt^2}=-(2\omega)^2$, $\frac{d^2}{dt^2}=-(3\omega)^2$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение24.06.2024, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
EUgeneUS, согласен.

Mathew Rogan, нет.
Во-первых, не факт, что в такой сложной системе резонансные частоты будут кратны основной частоте.
Во-вторых, я имел в виду: что будет, если из условия убрать слово "первая". Считаем, что происходят гармонические колебания на некоторой частоте $\omega$, она может быть хоть 17-й резонансной — это неизвестно. При этом каждая частичка подставки совершает колебания по закону $Ae^{i\omega t}$, где $A(x)$ комплексная амплитуда. Таким образом, $\frac{d^2}{dt^2}=-\omega^2$.
Сама зависимость $A(x)$ определяется модой колебаний и будет, конечно, различной для 1-й и 17-й резонансной частоты. Но мы не знаем, какая у нас мода.

Так что интересный вопрос остаётся, с не менее интересным ответом. Допустим, при заданной $M$ надо было бы найти, какие вообще резонансные частоты здесь существуют. Для этого не надо никаких дополнительных формул, лишь иначе посмотреть на уже полученные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение25.06.2024, 07:43 


26/04/14
121
Не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение25.06.2024, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Тот факт, что значение $\omega$ относится именно к первой резонансной частоте, в решении нигде не используется. И в условии слово "первая" лишнее.

Представьте, что в лаборатории стоит конкретная подставка с грузом, с определёнными параметрами $M,m,k$ и бесконечной последовательностью резонансных частот $\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...$. Преподавателю известны все эти числа. Но Вам он сообщает лишь $m,k$ и $\omega_3$ (только её значение, не говоря, что эта резонансная частота именно третья). И просит найти $M$. Вы подставляете эти числа в формулу
$ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$
и находите $M$. Так вот, если преподаватель вместо значения $\omega_3$ даст Вам значение $\omega_{17}$, Вы получите то же самое значение $M$. Удивительно?

(Объяснение)

Потому что на формулу
$ M = \frac{\sqrt {mk}}{\omega}\ctg\omega \sqrt{\frac{m}{k}}$
можно смотреть как на уравнение относительно $\omega$ при известных $M,m,k$, определяющее резонансные частоты системы. Оно имеет бесконечное число корней $\omega_1, \omega_2, \omega_3, ...$. Любой корень — соответствующая резонансная частота. Подставив любую из них в правую часть, Вы, конечно, получите одно и то же $M$.

Например, пусть для той конкретной подставки $M=m=1, k=1$ (в какой-то системе единиц). Подставив это в формулу, получим уравнение
$\frac{\ctg\omega}{\omega}=1,$
определяющее резонансные частоты системы. Оно имеет бесконечное множество решений
$\begin{array}{l}\omega_1=0.86033358901938...\\ \omega_2=3.42561845948173...$\\ \omega_3=6.43729817917195...$\\ \omega_4=9.52933440536196...$\\...\end{array}$
(а также полученные из них сменой знака, они нас сейчас не интересуют). Понятно, что, подставив в исходную формулу $k=m=1$ и любое из этих решений в качестве $\omega$, мы получим верный ответ $M=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на колебания из Савченко
Сообщение25.06.2024, 19:25 


26/04/14
121
svv
Спасибо за объяснение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group