Mathew RoganУ меня сошлось с ответом, я составил и решил дифференциальное уравнение. Координата

, в направлении которой происходят колебания, — лагранжева (жёстко связана с "веществом" подставки). На полу

, на верху подставки

. Вводим

— это сила, с которой часть системы выше

действует на часть системы ниже

. Вводим

— смещение частички подставки с координатой

относительно положения равновесия. Смещения считаем малыми. Для любой точки подставки выполняются

— закон Гука в дифференциальной форме

— второй закон Ньютона в дифференциальной форме
Здесь

— линейная плотность подставки,

модуль Юнга,

площадь подставки. Сразу заменим

.
Краевые условия:


— второй закон Ньютона для тела

.
(по нашему соглашению

— это сила, с которой тело действует на верхний край подставки, поэтому при ней минус)
От необходимости учёта сил тяжести легко избавиться заменой переменных.
Рассмотрите гармонический режим колебаний, при котором

. Комплексные амплитуды зависят от одной независимой переменной

и удовлетворяют простому уравнению вида

.